Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
z=sec (x^2 y)

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a função satisfaz à equação diferencial parcial . Vamos trabalhar com derivadas parciais e aplicar o conceito de substituição para ver se a função dada cumpre a equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função de , e . No entanto, a função dada é , o que implica que está definido em termos de e . Para verificar se esta função satisfaz a equação, precisamos reescrever em termos de e .

Passo 3

Vamos considerar partial wpartial x = ddx sec(x^2 y) = sec(x^2 y) tan(x^2 y) cdot 2x y . Agora, calculamos as derivadas parciais de partial wpartial y = ddy sec(x^2 y) = sec(x^2 y) tan(x^2 y) cdot x^2 em relação a e :
Primeiro, a derivada de em relação a :
Em seguida, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada parcial de partial wpartial z = partial zpartial z = 1 em relação a . Contudo, como , temos:

Passo 5

Substituímos as derivadas na equação original:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = sec(x^2 y) tan(x^2 y) cdot 2x y + sec(x^2 y) tan(x^2 y) cdot x^2 + 1

Passo 6

Para verificar se a função satisfaz a equação, precisamos que a soma das derivadas seja igual a zero:
sec(x^2 y) tan(x^2 y) (2x y + x^2) + 1 = 0
Isso implica que:
sec(x^2 y) tan(x^2 y) (2x y + x^2) = -1
No entanto, não é uma constante que possa sempre cancelar o , a menos que haja restrições específicas sobre e , o que não é o caso aqui.

Resposta

Não, a função não satisfaz à equação diferencial dada.

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