Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(f) integral-1^4 1(x+1)^3 / 2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: .
O que precisamos fazer aqui é determinar se essa integral é convergente (ou seja, se ela tem um valor finito) ou divergente (não tem valor finito). Se for convergente, vamos calcular o valor dela.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais impróprias, especialmente lidando com pontos onde a função pode não ser definida ou pode tender ao infinito dentro dos limites de integração.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre integrais impróprias e como avaliar limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a integral é imprópria. Olhando para a função , percebemos que o denominador se torna zero quando . Isso significa que há uma descontinuidade na função nesse ponto.
Como o limite inferior de integração é , onde a função não está definida, a integral é uma integral imprópria.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral como um limite para lidar com a descontinuidade em integral-1^4 1(x+1)^3 / 2 dx = lima to -1^+ integrala^4 1(x+1)^3 / 2 dx :
Isso significa que vamos calcular a integral de até e depois tomar o limite conforme se aproxima de pela direita.

Passo 4

Vamos resolver a integral u = x + 1 Rightarrow du = dx .
Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar:
integral 1u^3 / 2 du
Substituindo na integral:
integral u^-3/2 du
Podemos reescrever como , então:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-3/2 du = u^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = u^-1/2-1/2 + C = -2u^-1/2 + C :
A integral de -2(x+1)^-1/2 + C = -2raizx+1 + C é , onde .
Aqui, , então:
Voltando para :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites integrala^4 1(x+1)^3 / 2 dx = [ -2raizx+1 ]a^4 = -2raiz4+1 + 2raiza+1 = -2raiz5 + 2raiza+1 e à antiderivada:

Passo 7

Agora, tomamos o limite quando lima to -1^+ ( -2raiz5 + 2raiza+1 ) se aproxima de pela direita:
Note que quando se aproxima de pela direita, se aproxima de pela direita, então se aproxima de , e tende ao infinito positivo.

Passo 8

Portanto:
lima to -1^+ ( -2raiz5 + 2raiza+1 ) = -2raiz5 + infty = infty
Isso significa que a integral diverge, ou seja, ela não tem um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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(b) integral0^pi tg x d x
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