Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(f)
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
.
O que precisamos fazer aqui é determinar se essa integral é convergente (ou seja, se ela tem um valor finito) ou divergente (não tem valor finito). Se for convergente, vamos calcular o valor dela.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais impróprias, especialmente lidando com pontos onde a função pode não ser definida ou pode tender ao infinito dentro dos limites de integração.
O que vamos precisar: Conhecimento sobre integrais impróprias e como avaliar limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a integral é imprópria. Olhando para a função
, percebemos que o denominador se torna zero quando
. Isso significa que há uma descontinuidade na função nesse ponto.
Como o limite inferior de integração é
, onde a função não está definida, a integral é uma integral imprópria.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral como um limite para lidar com a descontinuidade em
:
Isso significa que vamos calcular a integral de
até
e depois tomar o limite conforme
se aproxima de
pela direita.
Passo 4
Vamos resolver a integral
.
Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar:
Substituindo na integral:
Podemos reescrever
como
, então:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
A integral de
é
, onde
.
Aqui,
, então:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites
e
à antiderivada:
Passo 7
Agora, tomamos o limite quando
se aproxima de
pela direita:
Note que quando
se aproxima de
pela direita,
se aproxima de
pela direita, então
se aproxima de
, e
tende ao infinito positivo.
Passo 8
Portanto:
Isso significa que a integral diverge, ou seja, ela não tem um valor finito.
Resposta
A integral
é divergente.
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(a)
(b)
©
(d)
(e)
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