Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) que a gente precisa verificar se é exata. Se não for, a gente vai buscar um fator integrante para torná-la exata e, assim, resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar soluções para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de forma mais clara. A equação dada é:
Vamos identificar as funções
e
:
Assim, a EDO fica no formato:
Passo 3
Agora, para verificar se a EDO é exata, a gente precisa checar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Claramente,
. Então, a EDO não é exata.
Passo 7
Como a EDO não é exata, a gente precisa encontrar um fator integrante que, quando multiplicado pela equação original, torne a EDO exata. O enunciado já nos fornece um possível fator integrante:
.
Vamos multiplicar a equação original por
e verificar se agora ela é exata.
Passo 8
Multiplicando a EDO por
:
Simplificando:
Agora, identificamos as novas funções
e
:
Passo 9
Vamos verificar novamente se a EDO multiplicada é exata, calculando as derivadas parciais:
Como
, a EDO ainda não é exata. Então, o fator integrante dado não funcionou. Vamos tentar encontrar outro fator integrante.
Passo 10
Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator depende apenas de
, ou seja,
. A condição para que a EDO seja exata após multiplicar por
é:
Mas esse processo pode ser complicado. Em vez disso, vamos tentar encontrar
por inspeção.
Passo 11
Observando a equação original:
Vamos tentar multiplicar por
para simplificar:
Agora, vamos verificar se essa forma é exata.
Passo 12
Identificando as novas funções
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não são iguais, então a EDO não é exata. Vamos tentar outro fator.
Passo 13
Vamos tentar um fator integrante que depende de
, ou seja,
. A condição para exatidão é:
Vamos calcular:
Então:
Isso ainda é complicado. Vamos optar por um método alternativo: admitir que o fator integrante é da forma
e resolver a equação diferencial.
Passo 14
Para simplificar, vamos assumir que o fator integrante é
. A condição para exatidão é:
Substituindo
e
:
Isso sugere que
, o que só é possível se
, ou seja,
é constante. Portanto, essa abordagem não funciona.
Passo 15
Vamos tentar encontrar um fator integrante mais adequado. Observando a equação original:
Podemos rearranjar para:
Ainda complicado. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 16
Uma alternativa é usar o fator integrante fornecido no enunciado:
. Mesmo que inicialmente não tenha funcionado, vamos multiplicar novamente e tentar integrar.
Multiplicando a equação original por
:
Agora, checando exatidão:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não são iguais. Parece que precisamos de outro fator integrante.
Passo 17
Após tentativas, percebemos que talvez o fator integrante não seja simples. Vamos considerar que a EDO pode ser linear e tentar resolvê-la dessa forma.
A EDO original pode ser rearranjada como:
Isso não facilita muito. Então, vamos tentar uma substituição. Vamos definir
.
Passo 18
Com a substituição
, temos:
Rearranjando:
Substituindo na EDO original:
Passo 19
Simplificando a equação:
Isso ainda está complicado. Talvez uma outra substituição seja mais eficaz.
Passo 20
Vamos tentar outra abordagem. Retornando à EDO original:
Rearranjando termos:
Simplificando:
Vamos fazer a substituição
, então
, ou seja,
.
Passo 21
Com
, temos:
Substituindo na equação simplificada:
Ou seja:
Passo 22
Agora, temos uma equação separável:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 23
Voltando à substituição
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
.
Passo 24
Para isolar
, podemos resolver:
Essa é a solução geral da EDO.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(f) .
(f)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Considere a seguinte resolução para o cálculo da integral
:
Resolução. Como , usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos:
Resolução. Como
Assinale a alternativa verdadeira.
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.