Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
e^(-y) + e^(-x) * (-e^(-y) + 1) * dy/dx = 0, F = e^(x + y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial ordinária (EDO) que a gente precisa verificar se é exata. Se não for, a gente vai buscar um fator integrante para torná-la exata e, assim, resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar soluções para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de forma mais clara. A equação dada é:
Vamos identificar as funções e :
Assim, a EDO fica no formato:

Passo 3

Agora, para verificar se a EDO é exata, a gente precisa checar se:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :
Isso simplifica para:

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
Claramente, . Então, a EDO não é exata.

Passo 7

Como a EDO não é exata, a gente precisa encontrar um fator integrante que, quando multiplicado pela equação original, torne a EDO exata. O enunciado já nos fornece um possível fator integrante: .
Vamos multiplicar a equação original por e verificar se agora ela é exata.

Passo 8

Multiplicando a EDO por :
Simplificando:
Agora, identificamos as novas funções e :

Passo 9

Vamos verificar novamente se a EDO multiplicada é exata, calculando as derivadas parciais:
Como , a EDO ainda não é exata. Então, o fator integrante dado não funcionou. Vamos tentar encontrar outro fator integrante.

Passo 10

Vamos procurar um fator integrante que dependa apenas de ou apenas de . Vamos supor que o fator depende apenas de , ou seja, . A condição para que a EDO seja exata após multiplicar por é:
Mas esse processo pode ser complicado. Em vez disso, vamos tentar encontrar por inspeção.

Passo 11

Observando a equação original:
Vamos tentar multiplicar por para simplificar:
Agora, vamos verificar se essa forma é exata.

Passo 12

Identificando as novas funções e :
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não são iguais, então a EDO não é exata. Vamos tentar outro fator.

Passo 13

Vamos tentar um fator integrante que depende de , ou seja, . A condição para exatidão é:
Vamos calcular:
Então:
Isso ainda é complicado. Vamos optar por um método alternativo: admitir que o fator integrante é da forma e resolver a equação diferencial.

Passo 14

Para simplificar, vamos assumir que o fator integrante é . A condição para exatidão é:
Substituindo e :
Isso sugere que , o que só é possível se , ou seja, é constante. Portanto, essa abordagem não funciona.

Passo 15

Vamos tentar encontrar um fator integrante mais adequado. Observando a equação original:
Podemos rearranjar para:
Ainda complicado. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 16

Uma alternativa é usar o fator integrante fornecido no enunciado: . Mesmo que inicialmente não tenha funcionado, vamos multiplicar novamente e tentar integrar.
Multiplicando a equação original por :
Agora, checando exatidão:
Calculando as derivadas parciais:
Ainda não são iguais. Parece que precisamos de outro fator integrante.

Passo 17

Após tentativas, percebemos que talvez o fator integrante não seja simples. Vamos considerar que a EDO pode ser linear e tentar resolvê-la dessa forma.
A EDO original pode ser rearranjada como:
Isso não facilita muito. Então, vamos tentar uma substituição. Vamos definir .

Passo 18

Com a substituição , temos:
Rearranjando:
Substituindo na EDO original:

Passo 19

Simplificando a equação:
Isso ainda está complicado. Talvez uma outra substituição seja mais eficaz.

Passo 20

Vamos tentar outra abordagem. Retornando à EDO original:
Rearranjando termos:
Simplificando:
Vamos fazer a substituição , então , ou seja, .

Passo 21

Com , temos:
Substituindo na equação simplificada:
Ou seja:

Passo 22

Agora, temos uma equação separável:
Podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 23

Voltando à substituição :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde .

Passo 24

Para isolar , podemos resolver:
Essa é a solução geral da EDO.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(f) integral-1^4 1(x+1)^3 / 2 d x.
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(cos(xy) + x/y) + [1 + (x/y) cos(xy)] d(y)/d(x) = 0
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(sen(y) cos(y) + x cos^2(y)) + x y' = 0
Considere a seguinte resolução para o cálculo da integral integral0^pi sec ^2 x d x :
Resolução. Como (tg x)^prime=sec ^2 x, usando o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo obtemos:
integral0^pi sec ^2 x d x=tg x|0 ^pi=tg(pi)-tg(0)=0-0=0
Assinale a alternativa verdadeira.
(a) A resolução está inteiramente correta e o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo foi corretamente utilizado.
(b) O resultado final está correto, mas o Segundo Teorema Fundamental do Cálculo não foi utilizado corretamente.
© A resolução está correta, mas a integral em questão é imprópria.
(d) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e divergente.
(e) A resolução está errada. A integral em questão é imprópria e convergente.