Quais das integrais abaixo são impróprias? Por quê?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos analisar as integrais que você me enviou para descobrir quais são impróprias. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre integrais impróprias, que são aquelas que não seguem as regras das integrais próprias por causa de alguns “probleminhas”. Para resolver isso, vamos ver se os limites da integral são infinitos ou se a função que estamos integrando se comporta de forma “estranha” em algum ponto do intervalo, tipo ficando infinita. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que torna uma integral imprópria. Existem dois casos principais:
- Limites Infinitos: Quando os limites de integração vão até infinito ou menos infinito.
- Descontinuidade no Intervalo: Quando a função que estamos integrando tem uma descontinuidade (tipo uma vertical assíntota) dentro do intervalo de integração.
Vamos olhar cada item usando esses critérios.
Passo 3
Integrais (a) e (b) envolvem a função tangente (
).
A tangente de
tem descontinuidades onde o cosseno é zero, ou seja, em
, onde
é qualquer inteiro.
-
Para a integral (a):Entre
e , a função tangente não apresenta descontinuidades, já que está bem antes de . Então, essa integral é própria. -
Para a integral (b):Aqui, o intervalo vai de
até , e no meio desse intervalo, em , a tangente não está definida (vai para infinito). Isso cria uma descontinuidade dentro do intervalo, tornando a integral imprópria.
Passo 4
Agora, vamos para as integrais ©, (d) e (e) que envolvem a função
.
Primeiro, vamos fatorar o denominador para identificar possíveis descontinuidades:
Então, a função tem descontinuidades em
e
.
-
Para a integral ©:O intervalo vai de
a . Note que em , a função não está definida, pois o denominador se torna zero. Isso significa que temos uma descontinuidade no limite inferior, tornando a integral imprópria. -
Para a integral (d):Aqui, o intervalo é de
a . Novamente, está dentro desse intervalo, causando uma descontinuidade. Portanto, essa integral também é imprópria. -
Para a integral (e):Neste caso, o intervalo vai de
a . As descontinuidades estão em e , que não estão dentro desse intervalo. Logo, essa integral é própria.
Resposta
As integrais (b), © e (d) são impróprias porque apresentam descontinuidades (pontos onde a função não está definida) dentro dos intervalos de integração.
Exercícios relacionados
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Dada a função
.
- Determine o domínio e represente-o graficamente;
- Encontre a equação e faça um esboço do grafico da curva de nível de
que passa por .
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
(f) .
(f)