Determine se cada uma das seguintes classes é ou não uma partição de
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a classe
é uma partição do conjunto
. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma partição. Uma partição de um conjunto é uma divisão desse conjunto em subconjuntos não vazios, onde cada elemento do conjunto original pertence a exatamente um desses subconjuntos. Ou seja, para que a classe seja uma partição, ela deve satisfazer três condições:
- Cobertura Completa: Todos os elementos de
devem estar em pelo menos um subconjunto. - Disjunção Mútua: Nenhum elemento deve estar em mais de um subconjunto.
- Subconjuntos Não Vazios: Todos os subconjuntos devem ter pelo menos um elemento.
Vamos verificar essas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o conjunto
. Geralmente, quando não é especificado, consideramos
como a união de todos os subconjuntos apresentados. Então, temos:
Agora, vamos checar a Cobertura Completa: precisamos garantir que todos os elementos de
estão em algum dos subconjuntos da classe. Observando os subconjuntos, vemos que todos os elementos de
aparecem em pelo menos um deles. Então, essa condição está satisfeita.
Passo 3
Em seguida, vamos verificar a Disjunção Mútua: certificar que nenhum elemento está em mais de um subconjunto. Olhando os subconjuntos
,
e
, percebemos que não há elementos repetidos entre eles. Cada número está presente em apenas um subconjunto. Então, essa condição também está satisfeita.
Passo 4
Por último, vamos conferir se os Subconjuntos Não Vazios: todos os subconjuntos têm pelo menos um elemento. Vendo
,
e
, fica claro que nenhum deles está vazio. Portanto, essa condição está ok.
Resposta
Sim, a classe
é uma partição do conjunto
porque satisfaz todas as condições necessárias: cobre todo o conjunto, os subconjuntos são mutuamente disjuntos e nenhum está vazio.