Determine se cada uma das seguintes classes é ou não uma partição de X.
a) [1,3,6,2,8,5,7,9]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a classe [1,3,6,2,8,5,7,9] é uma partição do conjunto X. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma partição. Uma partição de um conjunto é uma divisão desse conjunto em subconjuntos não vazios, onde cada elemento do conjunto original pertence a exatamente um desses subconjuntos. Ou seja, para que a classe seja uma partição, ela deve satisfazer três condições:
  1. Cobertura Completa: Todos os elementos de X devem estar em pelo menos um subconjunto.
  2. Disjunção Mútua: Nenhum elemento deve estar em mais de um subconjunto.
  3. Subconjuntos Não Vazios: Todos os subconjuntos devem ter pelo menos um elemento.
Vamos verificar essas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o conjunto X. Geralmente, quando não é especificado, consideramos X como a união de todos os subconjuntos apresentados. Então, temos:
X = 1,3,6 cup 2,8 cup 5,7,9 = 1,2,3,5,6,7,8,9
Agora, vamos checar a Cobertura Completa: precisamos garantir que todos os elementos de X estão em algum dos subconjuntos da classe. Observando os subconjuntos, vemos que todos os elementos de X aparecem em pelo menos um deles. Então, essa condição está satisfeita.

Passo 3

Em seguida, vamos verificar a Disjunção Mútua: certificar que nenhum elemento está em mais de um subconjunto. Olhando os subconjuntos 1,3,6, 2,8 e 5,7,9, percebemos que não há elementos repetidos entre eles. Cada número está presente em apenas um subconjunto. Então, essa condição também está satisfeita.

Passo 4

Por último, vamos conferir se os Subconjuntos Não Vazios: todos os subconjuntos têm pelo menos um elemento. Vendo 1,3,6, 2,8 e 5,7,9, fica claro que nenhum deles está vazio. Portanto, essa condição está ok.

Resposta

Sim, a classe [1,3,6,2,8,5,7,9] é uma partição do conjunto X = 1,2,3,5,6,7,8,9 porque satisfaz todas as condições necessárias: cobre todo o conjunto, os subconjuntos são mutuamente disjuntos e nenhum está vazio.

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