Determine se cada uma das seguintes classes é ou não uma partição de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se uma determinada classe é ou não uma partição de um conjunto $ X $. A matéria aqui é sobre partições de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma partição e verificar se a classe dada cumpre os requisitos necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de $ X $ é uma coleção de subconjuntos de $ X $ que satisfaz três condições:
- Cobertura: A união de todos os subconjuntos é igual a $ X $.
- Disjuntos: Nenhum elemento de $ X $ está em mais de um subconjunto.
- Não Vazio: Nenhum dos subconjuntos é vazio.
Passo 3
Agora, vamos analisar a classe que foi dada: $ [{1,5,7}, {2,4,8,9}, {3,5,6}] $. Primeiro, precisamos identificar o conjunto $ X $. Geralmente, $ X $ é dado como a união de todos os elementos presentes nos subconjuntos. Então,
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição de cobertura. A união dos subconjuntos é:
Isso cobre todo o conjunto $ X $. Então, a primeira condição está ok.
Passo 5
Agora, vamos ver a segunda condição: disjuntos. Isso significa que nenhum elemento deve estar em mais de um subconjunto. Olhando para os subconjuntos:
- O número 5 está na primeira e na terceira lista: $ {1,5,7} $ e $ {3,5,6} $.
Isso significa que o elemento 5 está aparecendo em dois subconjuntos diferentes, o que viola a condição de serem disjuntos.
Passo 6
Por causa disso, já podemos concluir que a classe não é uma partição de $ X $, pois os subconjuntos não são disjuntos.
Resposta
Não, a classe $ [{1,5,7}, {2,4,8,9}, {3,5,6}] $ não é uma partição de $ X $, já que o elemento 5 está presente em mais de um subconjunto, violando a condição de serem disjuntos.