Escreva a equação dual de cada uma das seguintes equações.
c) (A cap B) cup(A^C cap B) cup(A cap B^C) cup(A^C cap B^C)=U

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede! Temos uma equação envolvendo operações com conjuntos, especificamente união (∪) e interseção (∩), além de complementos. O conteúdo aqui é sobre duais de equações de conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender como transformar cada operação na sua dual: trocar união por interseção e vice-versa, e também saber que o complementar do universo, $ U $, é o conjunto vazio, $ \emptyset $.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação original:
(A cap B) cup (A^C cap B) cup (A cap B^C) cup (A^C cap B^C) = U
Aqui, temos várias interseções dentro de uniões, todas igualando ao universo $ U $.

Passo 3

Agora, para encontrar o dual dessa equação, precisamos trocar cada união por interseção e cada interseção por união. Além disso, o lado direito $ U U \emptyset $ (vazio).

Passo 4

Vamos aplicar essa troca:
  • Cada $ \cup $ vira $ \cap $
  • Cada $ \cap $ vira $ \cup $
  • $ U $ vira $ \emptyset $
Então, a equação dual fica assim:
cup

Passo 5

Vamos verificar cada parte:
  • $ A \cap B $ virou $ A \cup B $
  • $ A^{C} \cap B $ virou $ A^{C} \cup B $
  • $ A \cap B^{C} $ virou $ A \cup B^{C} $
  • $ A^{C} \cap B^{C} $ virou $ A^{C} \cup B^{C} $
  • E a igualdade mudou de $ U $ para $ \emptyset $

Resposta

A equação dual é:
(A cup B) cap (A^C cup B) cap (A cup B^C) cap (A^C cup B^C) = emptyset

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