Escreva a equação dual de cada uma das seguintes equações.
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Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede! Temos uma equação envolvendo operações com conjuntos, especificamente união (∪) e interseção (∩), além de complementos. O conteúdo aqui é sobre duais de equações de conjuntos. Para resolver, vamos precisar entender como transformar cada operação na sua dual: trocar união por interseção e vice-versa, e também saber que o complementar do universo, $ U $, é o conjunto vazio, $ \emptyset $.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação original:
Aqui, temos várias interseções dentro de uniões, todas igualando ao universo $ U $.
Passo 3
Agora, para encontrar o dual dessa equação, precisamos trocar cada união por interseção e cada interseção por união. Além disso, o lado direito $ U
\emptyset $ (vazio).
Passo 4
Vamos aplicar essa troca:
- Cada $ \cup $ vira $ \cap $
- Cada $ \cap $ vira $ \cup $
- $ U $ vira $ \emptyset $
Então, a equação dual fica assim:
Passo 5
Vamos verificar cada parte:
- $ A \cap B $ virou $ A \cup B $
- $ A^{C} \cap B $ virou $ A^{C} \cup B $
- $ A \cap B^{C} $ virou $ A \cup B^{C} $
- $ A^{C} \cap B^{C} $ virou $ A^{C} \cup B^{C} $
- E a igualdade mudou de $ U $ para $ \emptyset $
Resposta
A equação dual é: