Determine se cada uma das seguintes classes é ou não uma partição de
.
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a classe
é uma partição do conjunto
. Aqui, estamos lidando com teoria de conjuntos, especificamente com o conceito de partição. Para resolver isso, precisamos verificar duas coisas principais:
- Disjuntividade: Os subconjuntos não se sobrepõem, ou seja, não têm elementos em comum.
- Cobertura Completa: A união de todos os subconjuntos resulta exatamente no conjunto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma partição. Uma partição de um conjunto
é uma coleção de subconjuntos não vazios que são mutuamente disjuntos (não têm elementos em comum) e cuja união é todo o conjunto
. Isso significa que cada elemento de
pertence a exatamente um desses subconjuntos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa classe
. Primeiro, precisamos identificar qual é o conjunto
. Observando os subconjuntos, vemos que:
Portanto, o conjunto
é a união de todos esses elementos:
Passo 4
Vamos verificar a disjuntividade dos subconjuntos. Isso significa que precisamos garantir que nenhum elemento esteja em mais de um subconjunto.
-
não tem elementos em comum com . -
também não compartilha elementos com . - E
não tem elementos em comum com .
Como nenhum elemento se repete entre os subconjuntos, eles são mutuamente disjuntos.
Passo 5
Agora, vamos verificar a cobertura completa. Precisamos conferir se a união de todos os subconjuntos resulta exatamente em
.
A união dos subconjuntos realmente cobre todo o conjunto
sem deixar nenhum elemento de fora.
Resposta
Sim, a classe
é uma partição do conjunto
.