Usando as leis da Álgebra de conjuntos demonstre a identidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa identidade da Álgebra de Conjuntos juntos! O enunciado pede para mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com união (
), interseção (
) e o complemento de conjuntos (
e
). Vamos precisar lembrar algumas leis básicas da Álgebra de Conjuntos, como a distributiva e a associativa, para mostrar que os dois lados da igualdade são iguais.
Passo 2
Vamos começar analisando o lado direito da igualdade:
Isso significa que estamos unindo três conjuntos:
- Elementos que estão em
e não estão em . - Elementos que não estão em
e estão em . - Elementos que estão tanto em
quanto em .
Passo 3
Agora, vamos pensar no que isso representa. Estamos basicamente cobrindo todas as possibilidades de onde um elemento pode estar em relação a
e
:
- Só em
, - Só em
, - Em ambos
e .
Isso cobre todas as possibilidades, o que significa que qualquer elemento que esteja em
ou em
estará em um desses três conjuntos no lado direito.
Passo 4
Matematicamente, isso significa que qualquer elemento
que pertença a
deve pertencer a pelo menos um dos conjuntos no lado direito. Vamos formalizar isso:
Se
, então:
- Se
e , então . - Se
e , então . - Se
e , então .
Em todos os casos,
está incluído em uma das partes do lado direito.
Passo 5
Além disso, qualquer elemento que esteja em uma das partes do lado direito também está em
. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então e .
Portanto, em todos os casos,
está em
.
Resposta
Assim, mostramos que
é igual a
. A identidade está comprovada!