Usando as leis da Álgebra de conjuntos demonstre a identidade
A cup B=(A cap B^C) cup(A^C cap B) cup(A cap B)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa identidade da Álgebra de Conjuntos juntos! O enunciado pede para mostrar que:
A cup B = (A cap B^C) cup (A^C cap B) cup (A cap B)
Aqui, estamos trabalhando com união ( cup), interseção ( cap) e o complemento de conjuntos ( B^C e A^C). Vamos precisar lembrar algumas leis básicas da Álgebra de Conjuntos, como a distributiva e a associativa, para mostrar que os dois lados da igualdade são iguais.

Passo 2

Vamos começar analisando o lado direito da igualdade:
(A cap B^C) cup (A^C cap B) cup (A cap B)
Isso significa que estamos unindo três conjuntos:
  1. Elementos que estão em A e não estão em B.
  2. Elementos que não estão em A e estão em B.
  3. Elementos que estão tanto em A quanto em B.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que isso representa. Estamos basicamente cobrindo todas as possibilidades de onde um elemento pode estar em relação a A e B:
  • Só em A,
  • Só em B,
  • Em ambos A e B.
Isso cobre todas as possibilidades, o que significa que qualquer elemento que esteja em A ou em B estará em um desses três conjuntos no lado direito.

Passo 4

Matematicamente, isso significa que qualquer elemento x que pertença a A cup B deve pertencer a pelo menos um dos conjuntos no lado direito. Vamos formalizar isso:
Se x in A cup B, então:
  • Se x in A e x notin B, então x in A cap B^C.
  • Se x notin A e x in B, então x in A^C cap B.
  • Se x in A e x in B, então x in A cap B.
Em todos os casos, x está incluído em uma das partes do lado direito.

Passo 5

Além disso, qualquer elemento que esteja em uma das partes do lado direito também está em A cup B. Por exemplo:
  • Se x in A cap B^C, então x in A.
  • Se x in A^C cap B, então x in B.
  • Se x in A cap B, então x in A e x in B.
Portanto, em todos os casos, x está em A cup B.

Resposta

Assim, mostramos que A cup B é igual a (A cap B^C) cup (A^C cap B) cup (A cap B). A identidade está comprovada!

Exercícios relacionados