Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando ele pode ser derivado de uma função potencial escalar. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se relacionam nos campos vetoriais. Então, vamos analisar o campo vetorial
para ver se ele é conservativo e, se for, encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, se
. Isso é conhecido como condição de conservatividade.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que
. Portanto, o campo vetorial é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, que aparece porque ao integrar em relação a
, a constante de integração pode depender de
.
Passo 7
Para encontrar
, vamos usar a segunda condição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Simplificando:
Igualando a
:
Isso implica que:
Então,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A função potencial escalar é:
Onde
é uma constante.