Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para .
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando ele pode ser derivado de uma função potencial escalar. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se relacionam nos campos vetoriais. Então, vamos analisar o campo vetorial para ver se ele é conservativo e, se for, encontrar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, se . Isso é conhecido como condição de conservatividade.
Passo 3
Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Passo 5
Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que . Portanto, o campo vetorial é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , que aparece porque ao integrar em relação a , a constante de integração pode depender de .
Passo 7
Para encontrar , vamos usar a segunda condição:
Calculando a derivada de em relação a :
Simplificando:
Igualando a :
Isso implica que:
Então, é uma constante, que podemos chamar de .
Resposta
A função potencial escalar é:
Onde é uma constante.
Exercícios relacionados
Seja e suponha que é a curva orientada formada pela curva e pelo quadrado com vértices nos pontos e orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral
diretamente e também usando o Teorema de Green.
Escreva usando a notaçāo científica:
(c)
Escreva usando a notaçāo científica:
(e)
Escreva usando a notaçāo científica:
(a) 100.000 .000