Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para . c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando ele pode ser derivado de uma função potencial escalar. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se relacionam nos campos vetoriais. Então, vamos analisar o campo vetorial para ver se ele é conservativo e, se for, encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, se . Isso é conhecido como condição de conservatividade.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial: Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos : Agora, calculamos :

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais: Vemos que . Portanto, o campo vetorial é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que: Vamos integrar em relação a : Aqui, é uma função que depende apenas de , que aparece porque ao integrar em relação a , a constante de integração pode depender de .

Passo 7

Para encontrar , vamos usar a segunda condição: Calculando a derivada de em relação a : Simplificando: Igualando a : Isso implica que: Então, é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A função potencial escalar é: Onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Seja e suponha que é a curva orientada formada pela curva e pelo quadrado com vértices nos pontos e orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral diretamente e também usando o Teorema de Green.
Escreva usando a notaçāo científica: (c)
Escreva usando a notaçāo científica: (e)
Escreva usando a notaçāo científica: (a) 100.000 .000