Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para F.
c) F = (e^(-y) - y sen(x y)) i - (x e^(-y) + x sen(x y)) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o campo vetorial dado é conservativo. Um campo vetorial é conservativo quando ele pode ser derivado de uma função potencial escalar. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas parciais e como elas se relacionam nos campos vetoriais. Então, vamos analisar o campo vetorial para ver se ele é conservativo e, se for, encontrar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se a derivada parcial de Q em relação a x for igual à derivada parcial de P em relação a y. Ou seja, se . Isso é conhecido como condição de conservatividade.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 5

Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que . Portanto, o campo vetorial é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y, que aparece porque ao integrar em relação a x, a constante de integração pode depender de y.

Passo 7

Para encontrar g(y), vamos usar a segunda condição:
Calculando a derivada de em relação a y:
Simplificando:
Igualando a :
Isso implica que:
Então, g(y) é uma constante, que podemos chamar de C.

Resposta

A função potencial escalar é:
Onde C é uma constante.

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