Determine, caso exista, a matriz inversa das matrizes a abaixo:
Passo 1
O exercício pede para determinar se a matriz
1 & 1 & 1 3 & 5 & 4 3 & 6 & 5
possui uma matriz inversa. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz. Se o determinante for diferente de zero, a matriz inversa existe e pode ser encontrada usando a fórmula da inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz A = 1 & 1 & 1 3 & 5 & 4 3 & 6 & 5 , o determinante pode ser encontrado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos utilizar a regra de Sarrus para simplificar.
A matriz dada é:
det(A) = 1(5 times 5 - 4 times 6) - 1(3 times 5 - 4 times 3) + 1(3 times 6 - 5 times 3)
Aplicando a regra de Sarrus:
det(A) = 1 - 3 + 3 = 1
Calculando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando os resultados:
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz inversa existe.
Passo 3
Para encontrar a matriz inversa, precisamos calcular a matriz dos cofatores, depois transpor essa matriz (obtendo a matriz adjunta) e, por fim, dividir cada elemento da adjunta pelo determinante.
Primeiro, vamos encontrar os cofatores da matriz Cij = (-1)^i+j cdot Mij .
Os cofatores 5 & 4 6 & 5 são dados por:
3 & 4 3 & 5
onde 3 & 5 3 & 6 é o menor complementar do elemento 1 & 1 6 & 5, ou seja, o determinante da matriz que resulta da remoção da i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
1 & 1 3 & 5
1 & 1 3 & 6
1 & 1 5 & 4
1 & 1 3 & 4
1 & 1 3 & 5
Passo 4
Agora, formamos a matriz de cofatores:
Cofatores = 1 & -3 & 3 1 & 2 & -3 -1 & -1 & 2
Em seguida, calculamos a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores:
Adj(A) = 1 & 1 & -1 -3 & 2 & -1 3 & -3 & 2
Passo 5
Finalmente, para obter a matriz inversa A^-1 = 11 cdot 1 & 1 & -1 -3 & 2 & -1 3 & -3 & 2 = 1 & 1 & -1 -3 & 2 & -1 3 & -3 & 2 , dividimos cada elemento da matriz adjunta pelo determinante de :
Como , a inversa é simplesmente a própria adjunta dividida por 1: