Use sistemas lineares para determinar a decomposição em frações parciais das expressões abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição em frações parciais. O que a gente precisa fazer aqui é quebrar a fração em partes menores que são mais fáceis de trabalhar. Para isso, vamos usar sistemas lineares para encontrar os valores de , e na expressão:
Passo 2
Primeiro, a gente vai eliminar os denominadores multiplicando os dois lados da equação pelo denominador comum . Isso vai nos deixar com uma equação sem frações:
Passo 3
Agora, vamos expandir cada um dos termos do lado direito para simplificar a equação. Vou fazer isso passo a passo:
Então, substituindo de volta na equação, temos:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes , e dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, vamos igualar os coeficientes correspondentes:
Passo 6
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da segunda equação:
-3A - B = 3 Rightarrow B = -3A - 3
Substituindo A + (-3A - 3) + C = 3 Rightarrow -2A - 3 + C = 3 Rightarrow -2A + C = 6 Rightarrow C = 2A + 6 na primeira equação:
2A - 2(-3A - 3) - (2A + 6) = -2
Agora, substituímos 2A + 6A + 6 - 2A - 6 = -2 Rightarrow 6A = -2 Rightarrow A = -13 e B = -3A - 3 = -3(-13) - 3 = 1 - 3 = -2 na terceira equação: