Use sistemas lineares para determinar a decomposição em frações parciais das expressões abaixo:
3 x^2+3 x-2(x+1)(x-1)(x-2)=Ax+1+Bx-1+Cx-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de decomposição em frações parciais. O que a gente precisa fazer aqui é quebrar a fração 3x^2+3x-2(x+1)(x-1)(x-2) = Ax+1 + Bx-1 + Cx-2 em partes menores que são mais fáceis de trabalhar. Para isso, vamos usar sistemas lineares para encontrar os valores de , e na expressão:

Passo 2

Primeiro, a gente vai eliminar os denominadores multiplicando os dois lados da equação pelo denominador comum 3x^2+3x-2 = A(x-1)(x-2) + B(x+1)(x-2) + C(x+1)(x-1) . Isso vai nos deixar com uma equação sem frações:

Passo 3

Agora, vamos expandir cada um dos termos do lado direito para simplificar a equação. Vou fazer isso passo a passo:
A(x-1)(x-2) = A(x^2 - 3x + 2)
B(x+1)(x-2) = B(x^2 - x - 2)
C(x+1)(x-1) = C(x^2 - 1)
Então, substituindo de volta na equação, temos:
3x^2+3x-2 = A(x^2 - 3x + 2) + B(x^2 - x - 2) + C(x^2 - 1)

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes 3x^2+3x-2 = A x^2 - 3A x + 2A + B x^2 - B x - 2B + C x^2 - C , 3x^2+3x-2 = (A + B + C)x^2 + (-3A - B)x + (2A - 2B - C) e dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de A + B + C = 3 -3A - B = 3 2A - 2B - C = -2 , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, vamos igualar os coeficientes correspondentes:

Passo 6

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas. Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da segunda equação:
-3A - B = 3 Rightarrow B = -3A - 3
Substituindo A + (-3A - 3) + C = 3 Rightarrow -2A - 3 + C = 3 Rightarrow -2A + C = 6 Rightarrow C = 2A + 6 na primeira equação:
2A - 2(-3A - 3) - (2A + 6) = -2
Agora, substituímos 2A + 6A + 6 - 2A - 6 = -2 Rightarrow 6A = -2 Rightarrow A = -13 e B = -3A - 3 = -3(-13) - 3 = 1 - 3 = -2 na terceira equação:
C = 2A + 6 = 2(-13) + 6 = -23 + 6 = 163
Simplificando:
Agora, encontramos . Vamos achar e :

Resposta

Os valores das constantes são:
A = -13, B = -2, C = 163
Então, a decomposição em frações parciais fica:
3x^2+3x-2(x+1)(x-1)(x-2) = -13x+1 + -2x-1 + 163x-2

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