Determine o centro e o raio da circunferência de equação:
x^2+y^2-8 x+12=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio da circunferência dada pela equação:
x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0
Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente a equação geral da circunferência. A gente vai precisar completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão da circunferência, que facilita identificar o centro e o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x^2 - 8x + y^2 = -12 e :
Aqui, temos e . Observe que não tem termo em , o que significa que o coeficiente de é zero.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo em x^2 - 8x + 16 + y^2 = -12 + 16 . Completar o quadrado é uma técnica que transforma uma expressão quadrática em um quadrado perfeito, facilitando a identificação do centro da circunferência.
Para o termo x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4 , seguimos estes passos:
  1. Pegamos o coeficiente de , que é , e dividimos por 2: .
  2. Elevamos esse resultado ao quadrado: .
  3. Adicionamos esse valor à equação, mas como fazemos isso no lado esquerdo, também precisamos adicionar ao lado direito para manter a igualdade.
Então, a equação fica:
Simplificando o lado direito:

Passo 4

Agora, podemos reescrever a parte de (x - 4)^2 + y^2 = 4 como um quadrado perfeito e manter o termo de separado:
Aqui, representa o quadrado perfeito que obtivemos ao completar o quadrado para .

Passo 5

Comparando essa equação com a forma padrão da circunferência, que é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Podemos identificar:
  • (já que não há termo em )

Passo 6

Agora, vamos encontrar o raio r = raiz4 = 2 :

Resposta

Portanto, o centro da circunferência é e o raio é .

Exercícios relacionados

Sejam u, v e w vetores de V^3. Mostre que se u, v é LI e w é ortogonal a u e v (simultaneamente), então u, v, w é base de V^3.
Determine a equação reduzida e geral da circunferência de:
C0=(-5,2) e r=2
Nos exercícios 6 a 9 e 12 a 14 a seguir E=e1, e2, e3 é uma base ortonormal.
Sendo u=(1,4,1)E e v=(0,1,-8)E calcule
|v|
Determine o centro e o raio da circunferência de equação:
x^2+y^2+16 x-8 y-64=0