Determine o centro e o raio da circunferência de equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro e o raio da circunferência dada pela equação:
Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente a equação geral da circunferência. A gente vai precisar completar o quadrado para transformar a equação na forma padrão da circunferência, que facilita identificar o centro e o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de e :
Aqui, temos e . Observe que não tem termo em , o que significa que o coeficiente de é zero.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em . Completar o quadrado é uma técnica que transforma uma expressão quadrática em um quadrado perfeito, facilitando a identificação do centro da circunferência.
Para o termo , seguimos estes passos:
Pegamos o coeficiente de , que é , e dividimos por 2: .
Elevamos esse resultado ao quadrado: .
Adicionamos esse valor à equação, mas como fazemos isso no lado esquerdo, também precisamos adicionar ao lado direito para manter a igualdade.
Então, a equação fica:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora, podemos reescrever a parte de como um quadrado perfeito e manter o termo de separado:
Aqui, representa o quadrado perfeito que obtivemos ao completar o quadrado para .
Passo 5
Comparando essa equação com a forma padrão da circunferência, que é:
Podemos identificar:
(já que não há termo em )
Passo 6
Agora, vamos encontrar o raio :
Resposta
Portanto, o centro da circunferência é e o raio é .