Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função
que é uma soma infinita de funções envolvendo o degrau unitário
. A matéria envolvida aqui é de sinais e sistemas, especificamente sobre funções de degrau e sua combinação para formar ondas periódicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o degrau unitário funciona e como somá-lo de forma iterativa para formar o gráfico final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau unitário
. Ela vale 0 para
e 1 para
. Ou seja:
Essa função é muito útil para “ligar” ou “desligar” partes de um sinal em determinados instantes de tempo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dentro da soma:
Aqui,
varia de 0 a
. Cada termo dessa expressão representa um pulso que começa em
e termina em
. Basicamente,
“liga” o pulso em
e
“desliga” o pulso em
.
Passo 4
Vamos visualizar um único termo da soma para entender melhor. Por exemplo, para
:
Isso cria um pulso que começa em
e termina em
. O pulso tem uma altura de 1 e uma largura de
.
Passo 5
Quando somamos todos esses termos para
, estamos basicamente criando uma série de pulsos iguais, cada um iniciando em tempos inteiros
e com duração de
unidades de tempo. Ou seja, teremos um pulso de largura
entre
e
para cada
.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, vamos imaginar o eixo do tempo
e desenhar esses pulsos:
- De
a , o sinal está em 1. - De
a , o sinal volta para 0. - De
a , o sinal volta para 1. - E assim por diante, repetindo esse padrão indefinidamente.
Passo 7
O resultado é uma onda em forma de batimento, onde o sinal fica “ligado” por
unidade de tempo e “desligado” por
unidade de tempo, repetindo esse ciclo a cada unidade de tempo.
Resposta
O gráfico de
consiste em uma série infinita de pulsos retangulares de altura 1 e largura
, iniciando-se a cada inteiro
. Assim,
é uma onda periódica onde o sinal está ativo de
a
para cada
. O esboço mostra esses pulsos revestidos ao longo do eixo do tempo, repetindo-se indefinidamente.
Gráfico
Onde
é um número inteiro não negativo.