Esboce o gráfico de x(t)=sumk=0^inftyu(t-k)-u(t-k-12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de uma função que é uma soma infinita de funções envolvendo o degrau unitário . A matéria envolvida aqui é de sinais e sistemas, especificamente sobre funções de degrau e sua combinação para formar ondas periódicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o degrau unitário funciona e como somá-lo de forma iterativa para formar o gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau unitário u(t) = 0, & t < 0 1, & t >= 0 . Ela vale 0 para e 1 para . Ou seja:
Essa função é muito útil para “ligar” ou “desligar” partes de um sinal em determinados instantes de tempo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dentro da soma:
u(t - k) - u(t - k - 12)
Aqui, varia de 0 a . Cada termo dessa expressão representa um pulso que começa em e termina em . Basicamente, “liga” o pulso em e “desliga” o pulso em .

Passo 4

Vamos visualizar um único termo da soma para entender melhor. Por exemplo, para u(t) - u(t - 12) :
Isso cria um pulso que começa em e termina em . O pulso tem uma altura de 1 e uma largura de .

Passo 5

Quando somamos todos esses termos para , estamos basicamente criando uma série de pulsos iguais, cada um iniciando em tempos inteiros e com duração de unidades de tempo. Ou seja, teremos um pulso de largura entre e para cada .

Passo 6

Para esboçar o gráfico, vamos imaginar o eixo do tempo e desenhar esses pulsos:
  • De a , o sinal está em 1.
  • De a , o sinal volta para 0.
  • De a , o sinal volta para 1.
  • E assim por diante, repetindo esse padrão indefinidamente.

Passo 7

O resultado é uma onda em forma de batimento, onde o sinal fica “ligado” por unidade de tempo e “desligado” por unidade de tempo, repetindo esse ciclo a cada unidade de tempo.

Resposta

O gráfico de x(t) = 1, & k <= t < k + 12 x(t) = 0, & k + 12 <= t < k + 1 consiste em uma série infinita de pulsos retangulares de altura 1 e largura , iniciando-se a cada inteiro . Assim, é uma onda periódica onde o sinal está ativo de a para cada . O esboço mostra esses pulsos revestidos ao longo do eixo do tempo, repetindo-se indefinidamente.

Gráfico

Onde é um número inteiro não negativo.

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