Determine o comprimento do arco da curva gerada por h(x)=1/2x² + 2, 0 ≤ x ≤ √3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento do arco da curva definida por $ h(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2 $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq \sqrt{3} $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do comprimento de arco, que utiliza derivadas e integrais. Vamos precisar entender como aplicar a fórmula do comprimento de arco para funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função $ y = h(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
y = h(x)
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ h(x) $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ h(x) $. Dada a função $ h(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2 $, sua derivada é:
h(x)

Passo 4

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^raiz3 raiz1 + (x)^2 , dx = integral0^raiz3 raiz1 + x^2 , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, sabemos que:
integral raiz1 + x^2 , dx = 12x raiz1 + x^2 + 12 ln(x + raiz1 + x^2) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ \sqrt{3} $:
0

Passo 7

Calculamos primeiro no limite superior $ x = \sqrt{3} $:
x = raiz3
Simplificando:
12 raiz3 raiz1 + (raiz3)^2 + 12 ln(raiz3 + raiz1 + (raiz3)^2)

Passo 8

No limite inferior $ x = 0 $:
x = 0

Passo 9

Subtraindo os valores:
L = ( raiz3 + 12 ln(2 + raiz3) ) - 0 = raiz3 + 12 ln(2 + raiz3)

Resposta

O comprimento do arco da curva é $ \sqrt{3} + \frac{1}{2} \ln(2 + \sqrt{3}) $ unidades.

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