Determine o comprimento do arco da curva gerada por h(x)=1/2x² + 2, 0 ≤ x ≤ √3.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o comprimento do arco da curva definida por $ h(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2 $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq \sqrt{3} $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do comprimento de arco, que utiliza derivadas e integrais. Vamos precisar entender como aplicar a fórmula do comprimento de arco para funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função $ y = h(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ h(x) $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ h(x) $. Dada a função $ h(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2 $, sua derivada é:
Passo 4
Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Para resolver essa integral, sabemos que:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ \sqrt{3} $:
Passo 7
Calculamos primeiro no limite superior $ x = \sqrt{3} $:
Simplificando:
Passo 8
No limite inferior $ x = 0 $:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
O comprimento do arco da curva é $ \sqrt{3} + \frac{1}{2} \ln(2 + \sqrt{3}) $ unidades.