Determine o comprimento da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o comprimento da curva definida por
no intervalo de
de 0 a 1. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo, especificamente ao cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional e calcular derivadas das componentes da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica
de
a
:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos identificar as funções que compõem nossa curva
:
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Essas derivadas representam as taxas de mudança de cada componente da curva.
Passo 5
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando os quadrados:
Passo 6
Observando a expressão dentro da raiz, notamos que
pode ser simplificado usando a identidade hiperbólica:
Então, a integral fica:
Podemos fatorar 2 dentro da raiz:
Passo 7
Usando outra identidade hiperbólica, sabemos que:
Então, a integral se torna:
Passo 8
A integral de
é
. Portanto:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Calculando o valor numérico, sabendo que
:
Resposta
O comprimento da curva é aproximadamente
unidades.