Determine o comprimento da curva
gamma(t) = (raiz(2) * t, e^t, e^(-t)), 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de de 0 a 1. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo, especificamente ao cálculo de comprimento de curvas paramétricas. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional e calcular derivadas das componentes da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica de a :
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções que compõem nossa curva :
Precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
Essas derivadas representam as taxas de mudança de cada componente da curva.

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando os quadrados:

Passo 6

Observando a expressão dentro da raiz, notamos que pode ser simplificado usando a identidade hiperbólica:
Então, a integral fica:
Podemos fatorar 2 dentro da raiz:

Passo 7

Usando outra identidade hiperbólica, sabemos que:
Então, a integral se torna:

Passo 8

A integral de é . Portanto:
Sabemos que , então:

Passo 9

Calculando o valor numérico, sabendo que :

Resposta

O comprimento da curva é aproximadamente unidades.

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