Determine o comprimento da curva
r(t) = (t^2/2, t^3/3), t pertence a [0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o comprimento de uma curva definida por duas funções paramétricas:
Isso envolve cálculo de comprimentos de curvas no cálculo integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo :
Então, precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular e :
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 5

Fatorando de dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Para resolver , vamos usar substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Isso simplifica bastante!

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Voltando para a variável original :
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.

Passo 8

Aplicando os limites:
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é .

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