Determine o comprimento da curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o comprimento de uma curva definida por duas funções paramétricas:
Isso envolve cálculo de comprimentos de curvas no cálculo integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento
de uma curva paramétrica
no intervalo
:
Então, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento.
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.
Passo 5
Fatorando
de dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 6
Para resolver
, vamos usar substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Isso simplifica bastante!
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Voltando para a variável original
:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.
Passo 8
Aplicando os limites:
Simplificando:
Resposta
O comprimento da curva é
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 22 a 29 , use a fórmula
, quando
, para obter uma série de potências que represente cada expressão, especificando os valores de
para os quais a representação é válida.
22)
22)
Determine o comprimento da curva
Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
d) sobre um objeto que se move sobre a hélice
,
.
d)
Calcule cada integral abaixo utilizando o método das frações parciais
© onde
©