Determine o comprimento da curva

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o comprimento de uma curva definida por duas funções paramétricas:
Isso envolve cálculo de comprimentos de curvas no cálculo integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo :
Então, precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular e :
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 5

Fatorando de dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 6

Para resolver , vamos usar substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Isso simplifica bastante!

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Voltando para a variável original :
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1.

Passo 8

Aplicando os limites:
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 22 a 29 , use a fórmula , quando , para obter uma série de potências que represente cada expressão, especificando os valores de para os quais a representação é válida.
22)
Determine o comprimento da curva
Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
d) sobre um objeto que se move sobre a hélice , .
Calcule cada integral abaixo utilizando o método das frações parciais
© onde