Nos exercícios 22 a 29 , use a fórmula , quando , para obter uma série de potências que represente cada expressão, especificando os valores de para os quais a representação é válida.
22)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 22 juntos! O enunciado pede para a gente usar a fórmula da soma de uma série geométrica, que é quando . O objetivo é representar a expressão como uma série de potências e indicar para quais valores de essa representação é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que a gente tem: . A ideia é manipulá-la para ficar na forma da série geométrica que a gente conhece, ou seja, , onde é algo que depende de .

Passo 3

Observando a expressão , podemos notar que no denominador temos . Queremos comparar isso com da série geométrica. Para isso, vamos reescrever o denominador:
Mas isso não nos ajuda diretamente. Outra abordagem é reconhecer que podemos fatorar de uma forma que se pareça mais com a série geométrica.

Passo 4

Vamos pensar na expressão como . Agora, isso está na forma , onde , mas temos um no numerador. Para ajustar isso, podemos escrever:
Agora, a gente pode aplicar a fórmula da série geométrica para .

Passo 5

Sabemos que:
Isso vale para , ou seja, .

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão original:
Aqui, simplesmente distribuímos o na série.

Passo 7

Então, a série de potências que representa é:
E essa representação é válida para , conforme a condição da série geométrica original.

Resposta

A representação em série de potências de é:

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