Nos exercícios 22 a 29 , use a fórmula
, quando
, para obter uma série de potências que represente cada expressão, especificando os valores de
para os quais a representação é válida.
22)
22)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 22 juntos! O enunciado pede para a gente usar a fórmula da soma de uma série geométrica, que é
quando
. O objetivo é representar a expressão
como uma série de potências e indicar para quais valores de
essa representação é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão que a gente tem:
. A ideia é manipulá-la para ficar na forma da série geométrica que a gente conhece, ou seja,
, onde
é algo que depende de
.
Passo 3
Observando a expressão
, podemos notar que no denominador temos
. Queremos comparar isso com
da série geométrica. Para isso, vamos reescrever o denominador:
Mas isso não nos ajuda diretamente. Outra abordagem é reconhecer que podemos fatorar
de uma forma que se pareça mais com a série geométrica.
Passo 4
Vamos pensar na expressão
como
. Agora, isso está na forma
, onde
, mas temos um
no numerador. Para ajustar isso, podemos escrever:
Agora, a gente pode aplicar a fórmula da série geométrica para
.
Passo 5
Sabemos que:
Isso vale para
, ou seja,
.
Passo 6
Agora, voltando à nossa expressão original:
Aqui, simplesmente distribuímos o
na série.
Passo 7
Então, a série de potências que representa
é:
E essa representação é válida para
, conforme a condição da série geométrica original.
Resposta
A representação em série de potências de
é: