Nos exercícios 22 a 29 , use a fórmula sum0^infty x^n=11-x, quando |x|<1, para obter uma série de potências que represente cada expressão, especificando os valores de x para os quais a representação é válida.
22) x1-x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 22 juntos! O enunciado pede para a gente usar a fórmula da soma de uma série geométrica, que é quando . O objetivo é representar a expressão como uma série de potências e indicar para quais valores de essa representação é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que a gente tem: . A ideia é manipulá-la para ficar na forma da série geométrica que a gente conhece, ou seja, , onde é algo que depende de .

Passo 3

Observando a expressão 1 - x^4 = (1 - x^2)(1 + x^2) , podemos notar que no denominador temos . Queremos comparar isso com da série geométrica. Para isso, vamos reescrever o denominador:
Mas isso não nos ajuda diretamente. Outra abordagem é reconhecer que podemos fatorar de uma forma que se pareça mais com a série geométrica.

Passo 4

Vamos pensar na expressão x1 - x^4 = x cdot 11 - x^4 como . Agora, isso está na forma , onde , mas temos um no numerador. Para ajustar isso, podemos escrever:
Agora, a gente pode aplicar a fórmula da série geométrica para .

Passo 5

Sabemos que:
11 - x^4 = sumn=0^infty (x^4)^n = sumn=0^infty x^4n
Isso vale para , ou seja, .

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão original:
x1 - x^4 = x cdot sumn=0^infty x^4n = sumn=0^infty x^4n + 1
Aqui, simplesmente distribuímos o na série.

Passo 7

Então, a série de potências que representa sumn=0^infty x^4n + 1 é:
E essa representação é válida para , conforme a condição da série geométrica original.

Resposta

A representação em série de potências de x1 - x^4 = sumn=0^infty x^4n + 1, para |x| < 1 é:

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