Determine o comprimento das curvas abaixo:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o comprimento de uma curva definida pelas funções paramétricas
e no intervalo
. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o cálculo de comprimento de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e calcular derivadas das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos
e
, o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
A derivada de
é . Para derivar
, usamos a regra da cadeia:
Simplificando, obtemos:
Portanto, a derivada de
fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar
:
A derivada de é:
Passo 5
Com as derivadas calculadas, agora vamos montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento:
Vamos simplificar essa expressão:
Adicionando o
:
Passo 6
Agora, a expressão para o comprimento da curva simplifica bastante:
Sabemos que , então:
A integral de
é
, então:
Resposta
Após calcular e avaliar os limites, o comprimento da curva é:
Simplificando os valores, temos:
Portanto, o comprimento da curva é: