Determine o comprimento das curvas abaixo:
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o comprimento de uma curva definida pelas funções paramétricas e no intervalo . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o cálculo de comprimento de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e calcular derivadas das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos e , o comprimento da curva de até é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
A derivada de é . Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Simplificando, obtemos:
Portanto, a derivada de fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar :
A derivada de é:

Passo 5

Com as derivadas calculadas, agora vamos montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento:
Vamos simplificar essa expressão:
Adicionando o :

Passo 6

Agora, a expressão para o comprimento da curva simplifica bastante:
Sabemos que , então:
A integral de é , então:

Resposta

Após calcular e avaliar os limites, o comprimento da curva é:
Simplificando os valores, temos:
Portanto, o comprimento da curva é:

Exercícios relacionados

Determine o comprimento das curvas abaixo:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .
Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
(f) e e .
Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , do gráfico da função dada.
a)
b)
c)
d)
Determine a área da região delimitada pela curva:
(a)
(b)
©
(d)