Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o comprimento de uma curva definida pelas funções paramétricas e no intervalo . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente o cálculo de comprimento de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada e calcular derivadas das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos e , o comprimento da curva de até é dado por:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de :
A derivada de é . Para derivar , usamos a regra da cadeia:
Simplificando, obtemos:
Portanto, a derivada de fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar :
A derivada de é:
Passo 5
Com as derivadas calculadas, agora vamos montar a expressão dentro da raiz da fórmula do comprimento:
Vamos simplificar essa expressão:
Adicionando o :
Passo 6
Agora, a expressão para o comprimento da curva simplifica bastante:
Sabemos que , então:
A integral de é , então:
Resposta
Após calcular e avaliar os limites, o comprimento da curva é: