Determine o comprimento das curvas abaixo:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para determinar o comprimento da curva dada pelas equações paramétricas
e
, com
variando de 0 a 3. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de curvas paramétricas do cálculo, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
, ou seja, calcular
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva parametrizada:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula:
Passo 6
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
Extraindo a constante da integral:
Simplificando:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
(f) e
e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine a área da região delimitada pela curva:
(b)
(b)
Determine o comprimento das curvas abaixo:
(e) .
(e)
Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico da função dada.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)