Determine o comprimento das curvas abaixo:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para determinar o comprimento da curva dada pelas equações paramétricas e , com variando de 0 a 3. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de curvas paramétricas do cálculo, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a , ou seja, calcular e .

Passo 3

Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva parametrizada:
No nosso caso, e .

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula:

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 7

Extraindo a constante da integral:
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

Exercícios relacionados

Determine a área da região que está dentro de ambas as curvas.
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(e) e
(f) e e .
Determine a área da região delimitada pela curva:
(b)
Determine o comprimento das curvas abaixo:
(e) .
Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo , do gráfico da função dada.
a)
b)
c)
d)