Determine o comprimento das curvas abaixo:
(a) x = 2/3 t^2, y = t^2 - 2 ; 0 <= t <= 3.
(b) x = t sen(t), y = t cos(t); 0 <= t <= 1.
© x = 3 cos(t) - cos(3t), y = 3 sen(t) - sen(3t); 0 <= t <= pi.
(d) x = e^t sen(t), y = e^t cos(t); 0 <= t <= pi.
(e) x = cos(t) + ln(tg(1/2 t)), y = sen(t); pi/4 <= t <= 3*pi/4.

Passo 1

Vamos resolver a parte (a) do exercício que pede para determinar o comprimento da curva dada pelas equações paramétricas e , com variando de 0 a 3. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de curvas paramétricas do cálculo, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a , ou seja, calcular e .

Passo 3

Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva parametrizada:
No nosso caso, e .

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula:

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 7

Extraindo a constante da integral:
Simplificando:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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