Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função dada.
a) f(x) = (e^x + e^(-x)) / 2, -1 <= x <= 1
b) f(x) = raiz(R^2 - x^2), -R <= x <= R (R > 0)
c) y = x^2, 0 <= x < 1/2
d) y = raiz(x), 1 <= x <= 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da superfície que surge quando giramos o gráfico da função no intervalo de a em torno do eixo . Isso está ligado ao cálculo de superfícies de revolução, que é um tópico do Cálculo Integral. Para resolver, vamos usar a fórmula que nos ajuda a achar essa área quando giramos uma função em torno do eixo :

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função . Vamos lá:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular :

Passo 4

Vamos somar 1 a :

Passo 5

Observando que , podemos simplificar:

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula da área:
Sabendo que , temos:

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Integrando cada termo:
Avaliado de a :

Passo 8

Agora, substituindo de volta na fórmula da área:

Resposta

A área da superfície gerada é:

Exercícios relacionados