Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo
, do gráfico da função dada.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área da superfície que surge quando giramos o gráfico da função
no intervalo de
a
em torno do eixo
. Isso está ligado ao cálculo de superfícies de revolução, que é um tópico do Cálculo Integral. Para resolver, vamos usar a fórmula que nos ajuda a achar essa área quando giramos uma função em torno do eixo
:
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função
. Vamos lá:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Vamos somar 1 a
:
Passo 5
Observando que
, podemos simplificar:
Passo 6
Substituindo de volta na fórmula da área:
Sabendo que
, temos:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Integrando cada termo:
Avaliado de
a
:
Passo 8
Agora, substituindo de volta na fórmula da área:
Resposta
A área da superfície gerada é: