Determine a cônica representada pela equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar que tipo de cônica é representada pela equação
. Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas e como identificar cada tipo delas a partir da equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação geral da cônica:
Observamos que temos termos quadráticos em
e
, além de um termo misto
. A presença do termo
indica que a cônica pode estar rotacionada em relação aos eixos coordenados, o que complica um pouco a identificação direta.
Passo 3
Para identificar a cônica, vamos calcular algumas propriedades importantes. Primeiro, precisamos determinar o discriminante da equação geral, que nos ajuda a saber o tipo de cônica. O discriminante
é dado por:
Onde:
-
é o coeficiente de -
é o coeficiente de -
é o coeficiente de
Na nossa equação:
Então:
Passo 4
Com o discriminante
, sabemos que a cônica pode ser uma parábola, mas precisamos verificar porque também pode indicar outra possibilidade quando há rotação. No caso de
e presença do termo
, geralmente temos uma parábola rotacionada ou algumas outras situações especiais.
Passo 5
Para esclarecer melhor, vamos tentar eliminar o termo misto
fazendo uma rotação dos eixos. A rotação de eixos é uma técnica que nos ajuda a simplificar a equação eliminando o termo
, facilitando a identificação da cônica.
A inclinação do ângulo de rotação
que elimina o termo
é dada por:
Substituindo os valores:
Como a divisão por zero é indefinida, isso significa que o ângulo
é de 45 graus (
). Vamos aplicar essa rotação.
Passo 6
Com
, aplicamos as transformações de coordenadas:
Como
, substituímos esses valores na equação.
Depois de substituir e simplificar, a equação rotacionada não terá mais o termo
, o que facilita a identificação da cônica.
Passo 7
Após simplificar a equação rotacionada, identificamos que a forma resultante é de uma parábola. Isso confirma que a cônica representada pela equação original é uma parábola rotacionada em relação aos eixos coordenados.
Resposta
A equação
representa uma parábola rotacionada.