Determine a cônica representada pela equação x^2+2 x y+y^2-4 x- 6 y+9=0 * *

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar que tipo de cônica é representada pela equação . Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre cônicas e como identificar cada tipo delas a partir da equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação geral da cônica:
x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0
Observamos que temos termos quadráticos em e , além de um termo misto . A presença do termo indica que a cônica pode estar rotacionada em relação aos eixos coordenados, o que complica um pouco a identificação direta.

Passo 3

Para identificar a cônica, vamos calcular algumas propriedades importantes. Primeiro, precisamos determinar o discriminante da equação geral, que nos ajuda a saber o tipo de cônica. O discriminante De é dado por:
De
Onde:
  • é o coeficiente de
  • é o coeficiente de
  • é o coeficiente de
Na nossa equação:
Então:

Passo 4

Com o discriminante , sabemos que a cônica pode ser uma parábola, mas precisamos verificar porque também pode indicar outra possibilidade quando há rotação. No caso de e presença do termo , geralmente temos uma parábola rotacionada ou algumas outras situações especiais.

Passo 5

Para esclarecer melhor, vamos tentar eliminar o termo misto tan(2theta) = BA - C fazendo uma rotação dos eixos. A rotação de eixos é uma técnica que nos ajuda a simplificar a equação eliminando o termo tan(2theta) = 21 - 1 = 20 , facilitando a identificação da cônica.
A inclinação do ângulo de rotação que elimina o termo é dada por:
Substituindo os valores:
Como a divisão por zero é indefinida, isso significa que o ângulo é de 45 graus ( ). Vamos aplicar essa rotação.

Passo 6

Com x = x' costheta - y' sintheta , aplicamos as transformações de coordenadas:
y = x' sintheta + y' costheta
Como , substituímos esses valores na equação.
Depois de substituir e simplificar, a equação rotacionada não terá mais o termo , o que facilita a identificação da cônica.

Passo 7

Após simplificar a equação rotacionada, identificamos que a forma resultante é de uma parábola. Isso confirma que a cônica representada pela equação original é uma parábola rotacionada em relação aos eixos coordenados.

Resposta

A equação representa uma parábola rotacionada.

Exercícios relacionados