Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
(b) O conjunto
. Que objeto geométrico é esse?
(b) O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que o conjunto
não é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto atende às regras necessárias. Além disso, vamos descobrir qual é o objeto geométrico que representa esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de incluir o vetor zero, é fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalares. Isso significa que se você adicionar dois vetores do conjunto ou multiplicar um vetor por um número qualquer, o resultado também deve estar dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos analisar o conjunto dado:
. Esse conjunto inclui todos os pares ordenados
onde
está entre -1 e 1, e
também está entre -1 e 1. Geometricamente, isso forma um quadrado no plano cartesiano com lados de comprimento 2, centrado na origem.
Passo 4
Para verificar se esse conjunto é um espaço vetorial, vamos testar uma das regras essenciais: a fechadura sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor dentro do conjunto e o multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar dentro do conjunto.
Passo 5
Vamos pegar um vetor específico dentro do conjunto, por exemplo,
. Esse vetor está claramente dentro do conjunto porque
e
. Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar, digamos,
:
Passo 6
O vetor resultante é
. Vamos verificar se ele está dentro do conjunto original. Olhando as condições:
Ambas as desigualdades não são verdadeiras, já que
não é menor ou igual a
. Portanto,
não pertence ao conjunto.
Passo 7
Como encontramos um vetor no conjunto cujo múltiplo por um escalar não está no conjunto, isso viola a condição de fechadura sob multiplicação por escalar. Portanto, o conjunto não satisfaz as propriedades de um espaço vetorial.
Resposta
Concluímos que o conjunto
não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob multiplicação por escalar. Além disso, esse conjunto representa geometricamente um quadrado no plano cartesiano com lados de comprimento 2, centrado na origem.