Mostre que os seguintes conjuntos a seguir não são espaços vetoriais.
(b) O conjunto (x, y) in R^2:|x| <= 1,|y| <= 1. Que objeto geométrico é esse?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que o conjunto (x, y) in R^2: |x| <= 1, |y| <= 1 não é um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto atende às regras necessárias. Além disso, vamos descobrir qual é o objeto geométrico que representa esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de incluir o vetor zero, é fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalares. Isso significa que se você adicionar dois vetores do conjunto ou multiplicar um vetor por um número qualquer, o resultado também deve estar dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o conjunto dado: (x, y) in R^2: |x| <= 1, |y| <= 1. Esse conjunto inclui todos os pares ordenados (x, y) onde x está entre -1 e 1, e y também está entre -1 e 1. Geometricamente, isso forma um quadrado no plano cartesiano com lados de comprimento 2, centrado na origem.

Passo 4

Para verificar se esse conjunto é um espaço vetorial, vamos testar uma das regras essenciais: a fechadura sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos qualquer vetor dentro do conjunto e o multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado também deve estar dentro do conjunto.

Passo 5

Vamos pegar um vetor específico dentro do conjunto, por exemplo, (1, 1). Esse vetor está claramente dentro do conjunto porque |1| <= 1 e |1| <= 1. Agora, vamos multiplicar esse vetor por um escalar, digamos, 2:
2 cdot (1, 1) = (2 cdot 1, 2 cdot 1) = (2, 2)

Passo 6

O vetor resultante é (2, 2). Vamos verificar se ele está dentro do conjunto original. Olhando as condições:
|2| <= 1 e |2| <= 1
Ambas as desigualdades não são verdadeiras, já que 2 não é menor ou igual a 1. Portanto, (2, 2) não pertence ao conjunto.

Passo 7

Como encontramos um vetor no conjunto cujo múltiplo por um escalar não está no conjunto, isso viola a condição de fechadura sob multiplicação por escalar. Portanto, o conjunto não satisfaz as propriedades de um espaço vetorial.

Resposta

Concluímos que o conjunto (x, y) in R^2: |x| <= 1, |y| <= 1 não é um espaço vetorial, pois não é fechado sob multiplicação por escalar. Além disso, esse conjunto representa geometricamente um quadrado no plano cartesiano com lados de comprimento 2, centrado na origem.

Exercícios relacionados