Determine o conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial y′′+y′−2y=0

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar o conjunto fundamental de soluções pra equação diferencial $ y’’ + y’ - 2y = 0 $. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Pra resolver isso, vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados e entender como resolver a equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a equação diferencial a uma equação característica. Isso é feito substituindo $ y $ por $ e^{rt} $, onde $ r $ é um número que a gente precisa encontrar. Então, a equação fica:
y
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos dividir tudo por ele e ficamos com:
e^rt

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática $ r^2 + r - 2 = 0 $ para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r^2 + r - 2 = 0
Onde, nessa equação, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -2 $. Substituindo:
r
Então, temos:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
O que nos dá duas soluções:
a = 1

Passo 4

Como encontramos dois valores distintos para $ r $, as soluções gerais da equação diferencial serão combinações lineares de $ e^{r_1 t} $ e $ e^{r_2 t} $. Ou seja:
r
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
e^r1 t

Resposta

O conjunto fundamental de soluções é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-2 t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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