Resolva a equação diferencial linear não homogênea y ′′ + 3 y ′ + 2 y = 2 x 2 + 8 x + 3 . (Ref.: 202012449963) y = a x e − x + b e − 2 x + x 2 + x + 5 2 , a e b reais. y = a e − x + b e − 2 x + x 2 + x − 1 , a e b reais. y = a e − x + b x e − 2 x + x 2 + 2 x , a e b reais. y = 2 a x e x + b e − 2 x + x 2 + x + 1 , a e b reais. y = a e − x + b e − x + x 2 − 2 x + 5 , a e b reais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear não homogênea: $ y’’ + 3y’ + 2y = 2x^2 + 8x + 3 $. A matéria que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções gerais. Precisamos entender como encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a parte não homogênea, que é o polinômio do lado direito. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ + 3y’ + 2y = 0 $. Para isso, a gente monta a equação característica substituindo $ y $ por $ e^{rx} $, resultando em $ r^2 + 3r + 2 = 0 $.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ r^2 + 3r + 2 = 0 $, encontramos as raízes. Vamos fatorar:
$ (r + 1)(r + 2) = 0 $
Então, $ r_1 = -1 $ e $ r_2 = -2 $.
Passo 4
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é:
$ y_h = a e^{-x} + b e^{-2x} $
Aqui, $ a $ e $ b $ são constantes que vamos determinar mais tarde, se tivermos condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa $ y’’ + 3y’ + 2y = 2x^2 + 8x + 3 $. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que $ y_p $ também seja um polinômio de segundo grau:
$ y_p = Cx^2 + Dx + E $
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
$ y_p’ = 2Cx + D $
$ y_p’’ = 2C $
Passo 7
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
$ 2C + 3(2Cx + D) + 2(Cx^2 + Dx + E) = 2x^2 + 8x + 3 $
Simplificando:
$ 2C + 6Cx + 3D + 2Cx^2 + 2Dx + 2E = 2x^2 + 8x + 3 $
Passo 8
Agrupando os termos semelhantes:
$ (2C) x^2 + (6C + 2D) x + (2C + 3D + 2E) = 2x^2 + 8x + 3 $
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para $ x^2 $:
$ 2C = 2 $ → $ C = 1 $
$ 2C = 2 $ → $ C = 1 $
Para $ x $:
$ 6C + 2D = 8 $ → $ 6(1) + 2D = 8 $ → $ 6 + 2D = 8 $ → $ 2D = 2 $ → $ D = 1 $
$ 6C + 2D = 8 $ → $ 6(1) + 2D = 8 $ → $ 6 + 2D = 8 $ → $ 2D = 2 $ → $ D = 1 $
Para o termo constante:
$ 2C + 3D + 2E = 3 $ → $ 2(1) + 3(1) + 2E = 3 $ → $ 2 + 3 + 2E = 3 $ → $ 5 + 2E = 3 $ → $ 2E = -2 $ → $ E = -1 $
$ 2C + 3D + 2E = 3 $ → $ 2(1) + 3(1) + 2E = 3 $ → $ 2 + 3 + 2E = 3 $ → $ 5 + 2E = 3 $ → $ 2E = -2 $ → $ E = -1 $
Passo 10
Então, a solução particular é:
$ y_p = x^2 + x - 1 $
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
$ y = y_h + y_p = a e^{-x} + b e^{-2x} + x^2 + x - 1 $
Resposta
$ y = a e^{-x} + b e^{-2x} + x^2 + x - 1 $, onde $ a $ e $ b $ são constantes reais.