Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua, justificando sua resposta.
f(x)=cccx^3-8x^2-4 & se & x neq-2 e x neq 2 3 & se & x=2 4 & se & x=-2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos do domínio onde a função é contínua. Estamos trabalhando com o conteúdo de continuidade de funções. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e identificar possíveis pontos de descontinuidade na função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a definição da função . Ela é definida de três maneiras diferentes:
  • Para e , .
  • Para , .
  • Para , .

Passo 3

Para verificar a continuidade da função nos pontos onde ela está definida de forma diferente ( e ), precisamos verificar os limites laterais e comparar com o valor da função nesses pontos.

Passo 4

Vamos começar simplificando a expressão x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) . Notamos que:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)(x - 2)(x + 2) = x^2 + 2x + 4x + 2
Então, para e , a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade em limx to 2 f(x) = limx to 2 x^2 + 2x + 4x + 2 = 2^2 + 2(2) + 42 + 2 = 4 + 4 + 44 = 124 = 3 . Calculamos o limite de quando se aproxima de 2:
Como e o limite também é 3, a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade em limx to -2 f(x) = limx to -2 x^2 + 2x + 4x + 2 . Calculamos o limite de quando se aproxima de -2:
Ao substituir , o denominador se torna zero, indicando que o limite tende ao infinito ou não existe. Como é um valor finito, a função não é contínua em .

Passo 7

Para os demais valores de no domínio, a função é uma função racional contínua, desde que o denominador não seja zero e . Já verificamos que a continuidade é mantida em .

Resposta

A função R setminus -2 é contínua em todos os pontos do seu domínio, exceto em . Portanto, o conjunto dos pontos onde é contínua é:

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