Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita:
. O objetivo é descobrir se essa série vai somar a um número finito (converge) ou se ela cresce sem limite (diverge). Para isso, vamos usar o teste da integral, que faz parte do estudo de séries numéricas em matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão dos termos da série. Observando os denominadores:
-
-
-
- E assim por diante.
Então, a série pode ser escrita como:
Essa é uma série p, onde cada termo é da forma
. No nosso caso,
.
Passo 3
O teste da integral diz que, se temos uma série
onde
, e a função
é positiva, contínua e decrescente para
, então a série converge se e somente se a integral
converge.
No nosso caso,
, então
. Vamos verificar se a função atende aos critérios:
- Positiva: Para
, . - Contínua: A função
é contínua para . - Decrescente: Conforme
aumenta, diminui.
Como a função atende a todos os critérios, podemos aplicar o teste da integral.
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, reescrevemos como:
A integral de
é
, desde que
. Aqui,
:
Agora, avaliamos o limite:
A integral converge para
, que é um número finito.
Resposta
Como a integral
converge, pelo teste da integral, a série
também converge.
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e
.