Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: . O objetivo é descobrir se essa série vai somar a um número finito (converge) ou se ela cresce sem limite (diverge). Para isso, vamos usar o teste da integral, que faz parte do estudo de séries numéricas em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão dos termos da série. Observando os denominadores:
  • E assim por diante.
Então, a série pode ser escrita como:
Essa é uma série p, onde cada termo é da forma . No nosso caso, .

Passo 3

O teste da integral diz que, se temos uma série onde , e a função é positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral converge.
No nosso caso, , então . Vamos verificar se a função atende aos critérios:
  • Positiva: Para , .
  • Contínua: A função é contínua para .
  • Decrescente: Conforme aumenta, diminui.
Como a função atende a todos os critérios, podemos aplicar o teste da integral.

Passo 4

Vamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, reescrevemos como:
A integral de é , desde que . Aqui, :
Agora, avaliamos o limite:
A integral converge para , que é um número finito.

Resposta

Como a integral converge, pelo teste da integral, a série também converge.

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Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.
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