Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.
sumn=1^infty 1n^3+n

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty 1n^3+n converge ou diverge utilizando o teste da integral. Esse teste ajuda a decidir a convergência de séries comparando-as com integrais de funções contínuas e positivas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função contínua e positiva correspondente à série: f(x) = 1x^3 + x. Nosso objetivo é analisar a integral imprópria integral1^infty 1x^3 + x , dx.

Passo 3

Antes de integrar, simplificamos a expressão do denominador:
x^3 + x = x(x^2 + 1)
Então, a função fica:
f(x) = 1x(x^2 + 1)

Passo 4

Para integrar f(x), usamos frações parciais. Escrevemos:
1x(x^2 + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por x(x^2 + 1):
1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x
Expandindo:
1 = A x^2 + A + B x^2 + C x
Agrupando termos semelhantes:
1 = (A + B) x^2 + C x + A

Passo 5

Igualando os coeficientes de ambos os lados da equação:
  • Para x^2: A + B = 0
  • Para x: C = 0
  • Termo constante: A = 1
Resolvendo:
  • De A = 1, temos A = 1
  • De A + B = 0, substituindo A: 1 + B = 0 B = -1
  • C = 0
Então, a decomposição é:
1x(x^2 + 1) = 1x - xx^2 + 1

Passo 6

Agora, integramos cada parte separadamente:
integral 1x , dx = ln|x| + C
integral xx^2 + 1 , dx = 12 ln|x^2 + 1| + C
Portanto, a integral completa é:
integral 1x(x^2 + 1) , dx = ln|x| - 12 ln|x^2 + 1| + C

Passo 7

Avaliamo a integral imprópria de 1 a infinito:
limb to infty [ ln b - 12 ln(b^2 + 1) - (ln 1 - 12 ln(1^2 + 1)) ]
Simplificando:
limb to infty [ ln b - 12 ln(b^2 + 1) ] - [ 0 - 12 ln 2 ]
Observando o comportamento quando b to infty:
ln b - 12 ln(b^2) = ln b - ln b = 0
Portanto, a integral converge para 12 ln 2.

Resposta

Como a integral integral1^infty 1x^3 + x , dx converge, pelo teste da integral, a série sumn=1^infty 1n^3+n também converge.

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