Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge utilizando o teste da integral. Esse teste ajuda a decidir a convergência de séries comparando-as com integrais de funções contínuas e positivas.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função contínua e positiva correspondente à série: . Nosso objetivo é analisar a integral imprópria .

Passo 3

Antes de integrar, simplificamos a expressão do denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Para integrar , usamos frações parciais. Escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Igualando os coeficientes de ambos os lados da equação:
  • Para :
  • Para :
  • Termo constante:
Resolvendo:
  • De , temos
  • De , substituindo :
Então, a decomposição é:

Passo 6

Agora, integramos cada parte separadamente:
Portanto, a integral completa é:

Passo 7

Avaliamo a integral imprópria de 1 a infinito:
Simplificando:
Observando o comportamento quando :
Portanto, a integral converge para .

Resposta

Como a integral converge, pelo teste da integral, a série também converge.

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