Determine a convergência ou divergência das séries abaixo, utilizando o teste da integral.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série
converge ou diverge utilizando o teste da integral. Esse teste ajuda a decidir a convergência de séries comparando-as com integrais de funções contínuas e positivas.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função contínua e positiva correspondente à série:
. Nosso objetivo é analisar a integral imprópria
.
Passo 3
Antes de integrar, simplificamos a expressão do denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Para integrar
, usamos frações parciais. Escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Igualando os coeficientes de ambos os lados da equação:
- Para
: - Para
: - Termo constante:
Resolvendo:
- De
, temos - De
, substituindo : → -
Então, a decomposição é:
Passo 6
Agora, integramos cada parte separadamente:
Portanto, a integral completa é:
Passo 7
Avaliamo a integral imprópria de 1 a infinito:
Simplificando:
Observando o comportamento quando
:
Portanto, a integral converge para
.
Resposta
Como a integral
converge, pelo teste da integral, a série
também converge.
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e
.
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