Determine a corrente em um fio de raio se o módulo da densidade de corrente é dado por , onde é a distância radial e é uma constante. Qual a unidade de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente total em um fio de raio , onde a densidade de corrente é dada por . Além disso, também vamos descobrir a unidade de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à densidade de corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente total em um fio é obtida integrando a densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio. Matematicamente, isso fica assim:
Onde é um elemento de área na seção transversal.

Passo 3

Como o fio tem uma seção circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nesse caso, um elemento de área pode ser expresso como:
Aqui, é a distância radial do centro do fio, e é uma pequena variação nessa distância.

Passo 4

Substituindo a expressão de e na integral da corrente, temos:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na expressão da corrente:

Passo 6

Então, a corrente total no fio é:

Passo 7

Agora, vamos descobrir a unidade de . Sabemos que a densidade de corrente tem unidade de ampères por metro quadrado ( ).
A expressão dada é . Para que as unidades façam sentido, também precisa ter unidade de .
Sabendo que e são medidas em metros ( ), temos:
Simplificando:

Resposta

A corrente no fio é e a unidade de é ampères por metro à quarta potência ( ).

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