(2,0) Determine a corrente em um fio de raio R se o módulo da densidade de corrente é dado por J=J0 r^3R, onde r é a distância radial e J0 é uma constante. Qual a unidade de J0 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente total em um fio de raio , onde a densidade de corrente é dada por . Além disso, também vamos descobrir a unidade de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à densidade de corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente total I = integral J , dA em um fio é obtida integrando a densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio. Matematicamente, isso fica assim:
Onde é um elemento de área na seção transversal.

Passo 3

Como o fio tem uma seção circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nesse caso, um elemento de área dA = 2pi r , dr pode ser expresso como:
Aqui, é a distância radial do centro do fio, e é uma pequena variação nessa distância.

Passo 4

Substituindo a expressão de I = integral0^R J0 r^3R cdot 2pi r , dr e I = 2pi J0R integral0^R r^4 , dr na integral da corrente, temos:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^R r^4 , dr = [ r^55 ]0^R = R^55
Substituindo de volta na expressão da corrente:
I = 2pi J0R cdot R^55 = 2pi J0 R^45

Passo 6

Então, a corrente total no fio é:
I = 2pi J0 R^45

Passo 7

Agora, vamos descobrir a unidade de [J0] cdot m^3m = Am^2 . Sabemos que a densidade de corrente [J0] cdot m^2 = Am^2 implies [J0] = Am^4 tem unidade de ampères por metro quadrado ( ).
A expressão dada é . Para que as unidades façam sentido, também precisa ter unidade de .
Sabendo que e são medidas em metros ( ), temos:
Simplificando:

Resposta

A corrente no fio é e a unidade de é ampères por metro à quarta potência ( ).

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