Determine a corrente em um fio de raio
se o módulo da densidade de corrente é dado por
, onde
é a distância radial e
é uma constante. Qual a unidade de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a corrente total em um fio de raio
, onde a densidade de corrente é dada por
. Além disso, também vamos descobrir a unidade de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à densidade de corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente total
em um fio é obtida integrando a densidade de corrente
sobre a área da seção transversal do fio. Matematicamente, isso fica assim:
Onde
é um elemento de área na seção transversal.
Passo 3
Como o fio tem uma seção circular, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Nesse caso, um elemento de área
pode ser expresso como:
Aqui,
é a distância radial do centro do fio, e
é uma pequena variação nessa distância.
Passo 4
Substituindo a expressão de
e
na integral da corrente, temos:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na expressão da corrente:
Passo 6
Então, a corrente total no fio é:
Passo 7
Agora, vamos descobrir a unidade de
. Sabemos que a densidade de corrente
tem unidade de ampères por metro quadrado (
).
A expressão dada é
. Para que as unidades façam sentido,
também precisa ter unidade de
.
Sabendo que
e
são medidas em metros (
), temos:
Simplificando:
Resposta
A corrente no fio é
e a unidade de
é ampères por metro à quarta potência (
).