Determine a densidade de carga superficial induzida em um condutor neutro colocado próximo a uma carga puntiforme.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão é sobre densidade de carga superficial induzida em um condutor neutro quando ele é colocado próximo a uma carga puntiforme. Basicamente, queremos descobrir como as cargas se distribuem na superfície do condutor devido à presença da carga próxima. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de indução eletrostática, condutores em equilíbrio eletrostático e possivelmente usar o método de imagens para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar alguns conceitos importantes. Quando uma carga puntiforme é colocada próximo a um condutor neutro, ela induz uma redistribuição das cargas no condutor. Isso acontece porque os elétrons no condutor se movem para cancelar o campo elétrico interno, resultando em uma separação de cargas: uma parte positiva e outra negativa na superfície do condutor.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, podemos usar o método de imagens. Esse método nos permite substituir o condutor por uma carga “imagem” que reproduz os efeitos do condutor no campo elétrico. Suponha que temos uma carga $ q $ a uma distância $ d $ de um condutor plano infinito. A carga imagem será $ -q $ localizada a uma distância $ d $ dentro do condutor, simetricamente em relação à superfície.
Passo 4
Com o método de imagens, o campo elétrico resultante no espaço livre pode ser calculado como se houvesse duas cargas: a original $ q $ e a imagem $ -q $. A densidade de carga superficial $ \sigma $ induzida no condutor pode ser obtida a partir do campo elétrico perto da superfície do condutor.
Passo 5
Sabemos que a densidade de carga superficial está relacionada ao campo elétrico perpendicular à superfície pela equação:
onde $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ E_{\perp} $ é o componente perpendicular do campo elétrico.
Passo 6
O campo elétrico devido às duas cargas $ q $ e $ -q $ na superfície do condutor contribui para $ E_{\perp} $. Calculando o campo elétrico no ponto da superfície devido a essas cargas e aplicando a equação anterior, podemos determinar $ \sigma $.
Passo 7
Fazendo os cálculos detalhados (que envolvem integração dependendo da geometria específica do condutor), chegamos à expressão geral para a densidade de carga superficial induzida:
onde $ \mathbf{r} $ é a posição na superfície do condutor.
Resposta
A densidade de carga superficial induzida no condutor é dada por: