Uma carga pontual +Q é colocada perto de um plano condutor infinito. Determine a distribuição de cargas induzidas no plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma carga pontual $ +Q $ é colocada perto de um plano condutor infinito. Nosso objetivo é descobrir como as cargas se distribuem no plano condutor por causa dessa carga $ +Q $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente o método das imagens, que ajuda a simplificar problemas envolvendo condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando colocamos uma carga perto de um condutor. O condutor permite que as cargas se movam livremente, então a carga $ +Q $ vai induzir cargas opostas no plano. Ou seja, vão aparecer cargas negativas próximas à carga $ +Q $ no plano condutor.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, usamos o método das imagens. Esse método cria uma “imagem” da carga $ +Q $ do outro lado do plano condutor, como se fosse uma carga fictícia $ -Q $ posicionada simetricamente em relação ao plano. Essa imagem ajuda a manter as condições de contorno necessárias no condutor.

Passo 4

Agora, consideramos que a carga $ +Q $ está a uma distância $ a $ do plano condutor. Então, a carga imagem $ -Q $ estará a uma distância $ a $ do plano, do lado oposto. Esse arranjo garante que a superfície do condutor permaneça em potencial constante (zero, se considerarmos sem perda de carga inicial).

Passo 5

Com a carga imagem $ -Q $ definida, podemos calcular a densidade de carga induzida no plano condutor. A densidade de carga $ \sigma $ em um ponto a uma distância radial $ r $ da projeção da carga $ +Q $ no plano é dada por:
-Q
Essa fórmula nos diz como a carga se distribui no plano: ela é maior perto da projeção da carga $ +Q $ e diminui à medida que nos afastamos.

Resposta

A distribuição de cargas induzidas no plano condutor é dada pela densidade de carga:
sigma(r) = -Q a2pi (r^2 + a^2)^3/2
onde $ r $ é a distância radial a partir da projeção da carga $ +Q $ no plano.

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