Determine as densidades das variáveis condicionais (X / Y) e ( Y / X ), sabendo-se que variável aleatória (X, Y) tem densidade igual a
f(x, y)=cc 10 y & se 0á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as densidades condicionais f(x, y) = 10y & se 0 < x < 1 e 0 < y < x^2 0 & caso contrário e de duas variáveis aleatórias e . A gente tem a densidade conjunta definida por:
á
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade conjunta e densidades condicionais na matéria de Probabilidade e Estatística.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é densidade condicional. A densidade condicional fX|Y(x|y) = f(x, y)fY(y) nos dá a probabilidade de assumir um valor específico dado que . Matematicamente, é definida como:
Onde é a densidade marginal de .

Passo 3

Vamos começar encontrando a densidade marginal de fY(y) = integral-infty^+infty f(x, y) , dx , . Para isso, integramos a densidade conjunta em relação a :
Mas observando a função dada, sabemos que apenas quando e . Então, os limites de integração para dependem de .

Passo 4

Para determinar os limites de integração, observamos que para x > raizy fixo, deve satisfazer . Resolvendo para :
Como também deve ser menor que 1, os limites de vão de até 1, desde que (pois quando ).

Passo 5

Agora, calculamos fY(y) = integralraizy^1 10y , dx = 10y integralraizy^1 dx = 10y (1 - raizy) :
Então, para .

Passo 6

Com fX|Y(x|y) = f(x, y)fY(y) = 10y10y (1 - raizy) = 11 - raizy em mãos, podemos agora encontrar a densidade condicional :
Isso válido para .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a densidade condicional fY|X(y|x) = f(x, y)fX(x) . De maneira similar, usamos:
Onde é a densidade marginal de .

Passo 8

Primeiro, encontramos fX(x) = integral-infty^+infty f(x, y) , dy integrando fX(x) = integral0^x^2 10y , dy = 10 [ y^22 ]0^x^2 = 10 cdot x^42 = 5x^4 em relação a :
Sabendo que quando , então:
Então, para .

Passo 9

Finalmente, calculamos fY|X(y|x) = f(x, y)fX(x) = 10y5x^4 = 2yx^4 :
Isso válido para .

Resposta

As densidades condicionais são:
fX|Y(x|y) = 11 - raizy para raizy < x < 1
e
fY|X(y|x) = 2yx^4 para 0 < y < x^2

Exercícios relacionados