Determine as densidades das variáveis condicionais e ( ), sabendo-se que variável aleatória tem densidade igual a
á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as densidades condicionais e de duas variáveis aleatórias e . A gente tem a densidade conjunta definida por:
á
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade conjunta e densidades condicionais na matéria de Probabilidade e Estatística.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é densidade condicional. A densidade condicional nos dá a probabilidade de assumir um valor específico dado que . Matematicamente, é definida como:
Onde é a densidade marginal de .

Passo 3

Vamos começar encontrando a densidade marginal de , . Para isso, integramos a densidade conjunta em relação a :
Mas observando a função dada, sabemos que apenas quando e . Então, os limites de integração para dependem de .

Passo 4

Para determinar os limites de integração, observamos que para fixo, deve satisfazer . Resolvendo para :
Como também deve ser menor que 1, os limites de vão de até 1, desde que (pois quando ).

Passo 5

Agora, calculamos :
Então, para .

Passo 6

Com em mãos, podemos agora encontrar a densidade condicional :
Isso válido para .

Passo 7

Agora, vamos encontrar a densidade condicional . De maneira similar, usamos:
Onde é a densidade marginal de .

Passo 8

Primeiro, encontramos integrando em relação a :
Sabendo que quando , então:
Então, para .

Passo 9

Finalmente, calculamos :
Isso válido para .

Resposta

As densidades condicionais são:
e

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a) 480
b) 360
c) 240
d) 120
e) 60
Seja o evento - Calcule .
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a)
b)
c)
d)
e)
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