Determine as densidades das variáveis condicionais
e (
), sabendo-se que variável aleatória
tem densidade igual a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar as densidades condicionais
e
de duas variáveis aleatórias
e
. A gente tem a densidade conjunta
definida por:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de densidade conjunta e densidades condicionais na matéria de Probabilidade e Estatística.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é densidade condicional. A densidade condicional
nos dá a probabilidade de
assumir um valor específico dado que
. Matematicamente, é definida como:
Onde
é a densidade marginal de
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a densidade marginal de
,
. Para isso, integramos a densidade conjunta
em relação a
:
Mas observando a função dada, sabemos que
apenas quando
e
. Então, os limites de integração para
dependem de
.
Passo 4
Para determinar os limites de integração, observamos que para
fixo,
deve satisfazer
. Resolvendo para
:
Como
também deve ser menor que 1, os limites de
vão de
até 1, desde que
(pois
quando
).
Passo 5
Agora, calculamos
:
Então,
para
.
Passo 6
Com
em mãos, podemos agora encontrar a densidade condicional
:
Isso válido para
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a densidade condicional
. De maneira similar, usamos:
Onde
é a densidade marginal de
.
Passo 8
Primeiro, encontramos
integrando
em relação a
:
Sabendo que
quando
, então:
Então,
para
.
Passo 9
Finalmente, calculamos
:
Isso válido para
.
Resposta
As densidades condicionais são:
e