Para ter acesso à uma área restrita de um banco, existe uma fechadura com senha para liberar a passagem. Para identificar cada funcionário, o gerente resolveu que cada senha cadastrada fosse formada apenas por 4 dígitos distintos, escolhidos entre os que formam a data de nascimento de cada funcionário. Se Alberto nasceu em 03/12/97, qual o total de senhas que ele pode cadastrar?
a) 480
b) 360
c) 240
d) 120
e) 60

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre combinações e permutações, que são conceitos de contagem na matemática. Precisamos descobrir de quantas maneiras diferentes o Alberto pode criar uma senha de 4 dígitos, usando os números da sua data de nascimento (03/12/97), garantindo que todos os dígitos da senha sejam distintos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os dígitos disponíveis na data de nascimento do Alberto. A data é 03/12/97, então os dígitos são:
  • 0
  • 3
  • 1
  • 2
  • 9
  • 7
Isso nos dá 6 dígitos distintos para formar a senha.

Passo 3

Agora, precisamos formar senhas de 4 dígitos distintos usando esses 6 números. Isso significa que estamos lidando com permutação, porque a ordem dos dígitos importa (por exemplo, 1234 é diferente de 4321).
A fórmula para calcular o número de permutações de P(n, k) = n!(n - k)! elementos tomando de cada vez é:
Onde:
  • representa o fatorial de (produto de todos os números inteiros positivos até ).
  • é o número de elementos que queremos selecionar.

Passo 4

Aplicando a fórmula à nossa situação:
  • P(6, 4) = 6!(6 - 4)! = 6!2! (os 6 dígitos disponíveis)
  • 6! = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720 (porque queremos senhas de 4 dígitos)
Então,
2! = 2 times 1 = 2
Calculando os fatoriais:
P(6, 4) = 7202 = 360
Portanto,

Resposta

O total de senhas que o Alberto pode cadastrar é 360.

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