Determine a derivada direcional
da função
na direção
.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada direcional
da função
na direção do vetor
. O conteúdo envolve cálculo de derivadas direcionais, especificamente utilizando o gradiente da função. Para resolver, precisamos entender como calcular o gradiente e como utilizá-lo para encontrar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função dada. No item (b), foi fornecida a função
. Essa é uma função simples que representa uma superfície parabólica.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente, representado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Para a função
, temos:
Portanto,
Passo 4
Em seguida, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Agora, precisamos utilizar o vetor direção
. A derivada direcional é calculada pelo produto escalar entre o gradiente da função no ponto considerado e o vetor direção.
\
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
Simplificando:
Resposta
A derivada direcional
é igual a
.
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.
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.
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Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, explique por quê. Se falsa, explique por que ou forneça um contra-exemplo.
Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites: