Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites: lim n +infty 3 nn+4=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a definição de limite de uma sequência para mostrar que . Isso está no contexto de análise de limites de sequências, e para resolver, vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências e aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite de uma sequência. Dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença . Ou seja, a sequência fica tão próxima de quanto quisermos, quando é grande o suficiente.

Passo 3

No nosso caso, a sequência é | 3nn+4 - 3 | < varepsilon e queremos provar que o limite é . Então, vamos reescrever a condição:
Nosso objetivo é encontrar um em termos de que satisfaça essa desigualdade para todo .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| 3nn+4 - 3 | = | 3n - 3(n+4)n+4 | = | 3n - 3n - 12n+4 | = | -12n+4 | = 12n+4
Como para todo , podemos remover o valor absoluto.

Passo 5

Agora, queremos que 12n+4 < varepsilon Rightarrow n+4 > 12varepsilon Rightarrow n > 12varepsilon - 4 . Para encontrar N = lceil 12varepsilon rceil , resolvemos a desigualdade:
Como deve ser um número natural, podemos escolher como:
onde representa o menor número inteiro maior ou igual a .

Passo 6

Com esse limn +infty 3nn+4 = 3 , garantimos que para todo , , o que satisfaz a definição de limite. Assim, mostramos que:

Resposta

Portanto, utilizando a definição de limite de uma sequência, demonstramos que .

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