Use a definição de limite de uma sequência para demonstrar a validade dos seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a definição de limite de uma sequência para mostrar que . Isso está no contexto de análise de limites de sequências, e para resolver, vamos precisar entender a definição formal de limite para sequências e aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de limite de uma sequência. Dizemos que se, para todo , existe um número natural tal que para todo , a diferença . Ou seja, a sequência fica tão próxima de quanto quisermos, quando é grande o suficiente.
Passo 3
No nosso caso, a sequência é e queremos provar que o limite é . Então, vamos reescrever a condição:
Nosso objetivo é encontrar um em termos de que satisfaça essa desigualdade para todo .
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Como para todo , podemos remover o valor absoluto.
Passo 5
Agora, queremos que . Para encontrar , resolvemos a desigualdade:
Como deve ser um número natural, podemos escolher como:
onde representa o menor número inteiro maior ou igual a .
Passo 6
Com esse , garantimos que para todo , , o que satisfaz a definição de limite. Assim, mostramos que:
Resposta
Portanto, utilizando a definição de limite de uma sequência, demonstramos que .