Beleza, vamos resolver esse exercício sobre curvatura! Ele tem quatro partes: a definição de curvatura, duas fórmulas diferentes para calcular a curvatura usando derivadas de vetores de posição, e uma fórmula específica para curvas planas com equação . Para resolver, vamos precisar entender o que é curvatura e como ela se relaciona com as derivadas das funções que descrevem as curvas.
Passo 2
(a) Definição de Curvatura: Curvatura é uma medida de quão rápido uma curva está mudando de direção em um ponto específico. Quanto maior a curvatura, mais “curvada” está a curva nesse ponto. Imagine que você está andando de bicicleta por uma estrada: a curvatura indica o quão fechada é a curva da estrada naquele ponto.
Passo 3
(b) Fórmula da Curvatura em Função de e :
A curvatura pode ser calculada usando a derivada do vetor tangente em relação ao parâmetro . A fórmula é:
Aqui, é o vetor tangente à curva, que indica a direção da curva naquele ponto, e mostra como esse vetor está mudando à medida que nos movemos ao longo da curva.
Aqui, é a velocidade e é a aceleração da curva. O produto vetorial mede a tendência da curva de “sair” de uma direção reta.
Passo 5
(d) Fórmula da Curvatura de uma Curva Plana com Equação :
Para curvas planas descritas por , a curvatura pode ser calculada usando as derivadas de em relação a . A fórmula é:
Aqui, é a primeira derivada de que representa a inclinação da curva, e é a segunda derivada que indica a concavidade da curva. A fórmula combina essas informações para medir a curvatura em cada ponto da curva plana.