Determine a derivada de ordem 101 da função cos(x).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada de ordem 101 da função . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o comportamento das derivadas de funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as derivadas das funções trigonométricas básicas. A derivada de é . Se derivarmos novamente, teremos a seguinte sequência:
Como podemos ver, após quatro derivadas, voltamos à função original . Isso significa que as derivadas de são periódicas com período 4.

Passo 3

Sabendo que as derivadas se repetem a cada 4 passos, podemos determinar a posição da 101ª derivada dentro desse ciclo. Para isso, dividimos 101 por 4 e encontramos o resto:
O resto 1 indica que a 101ª derivada corresponde à primeira derivada no ciclo.

Passo 4

Como vimos anteriormente:
Portanto, a 101ª derivada de é igual a .

Resposta

A derivada de ordem 101 da função é .

Exercícios relacionados

(Até 4 pontos) a) 0
(Até 3 pontos)
e) -cos(x)
Calcule f'(x) onde f(x) é igual a
b) (x^4 + raiz(x)) * ln(x)
(Até 4 pontos)
b) 6