Determine a derivada de ordem 101 da função
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada de ordem 101 da função
. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o comportamento das derivadas de funções trigonométricas como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as derivadas das funções trigonométricas básicas. A derivada de
é
. Se derivarmos novamente, teremos a seguinte sequência:
Como podemos ver, após quatro derivadas, voltamos à função original
. Isso significa que as derivadas de
são periódicas com período 4.
Passo 3
Sabendo que as derivadas se repetem a cada 4 passos, podemos determinar a posição da 101ª derivada dentro desse ciclo. Para isso, dividimos 101 por 4 e encontramos o resto:
O resto 1 indica que a 101ª derivada corresponde à primeira derivada no ciclo.
Passo 4
Como vimos anteriormente:
Portanto, a 101ª derivada de
é igual a
.
Resposta
A derivada de ordem 101 da função
é
.
Exercícios relacionados
(Até 4 pontos)
a) 0
(Até 3 pontos)
e)
e)
Calcule
onde
é igual a
b)
b)
(Até 4 pontos)
b) 6
b) 6