Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função Z = x^y + xy
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ Z = x^y + xy $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de mais de uma variável, tratando uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ Z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial Z}{\partial x} $.
A função é $ Z = x^y + xy $.
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Derivando $ x^y $ em relação a $ x $:Quando temos uma variável no expoente, usamos a regra:
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Derivando $ xy $ em relação a $ x $:Aqui, tratamos $ y $ como uma constante. A derivada de $ x $ é 1, então:
Agora, somamos as duas partes:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ Z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial Z}{\partial y} $.
A função continua sendo $ Z = x^y + xy $.
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Derivando $ x^y $ em relação a $ y $:Aqui, usamos a regra da derivada de uma função exponencial com base variável:
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Derivando $ xy $ em relação a $ y $:Novamente, tratamos $ x $ como constante. A derivada de $ y $ é 1, então:
Somando as duas partes:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ Z = x^y + xy $ são:
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