Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo f(x, y) = e^x / (x + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda quando variamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a derivada da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é uma fração, então vamos aplicar a regra do quociente. Se temos , a derivada em relação a é:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Agora, tratamos como uma constante.
Novamente, usamos a regra do quociente. Temos:
éçã
Derivando cada parte em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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