As afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas? Justifique a sua resposta.
a) Se converge em , então converge em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a série que converge quando também converge quando . Vamos usar conceitos de séries de potência e raio de convergência pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrando que uma série de potência do jeito tem um raio de convergência . Isso quer dizer que a série converge para e diverge para . Nos pontos , a coisa pode variar: pode convergir ou não.

Passo 3

Se a série converge em , isso indica que está dentro ou na borda do raio de convergência. Então, pelo menos, temos que . Mas o que acontece com ?

Passo 4

Para , estamos olhando para . Se , então certamente a série também converge em porque está dentro do raio. Mas se , que é o caso mínimo onde sabemos que a série converge em , não podemos garantir automaticamente que ela converge em . Pode depender dos coeficientes .

Passo 5

Por exemplo, considere a série . Ela converge em (pela série harmônica pormenor com p = 1 diverge, mas essa específica, por causa do , a gente precisa analisar melhor). Mas se tentarmos com , pode acabar divergindo dependendo dos termos alternados.

Passo 6

Então, sem informações adicionais sobre os coeficientes , não dá pra afirmar que se a série converge em , ela necessariamente converge em .

Resposta

Falsa. A convergência em não garante convergência em , pois depende dos termos da série.

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Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: a)
Determine o domínio da função , sendo: h)
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas:
a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
Seja uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: d) ( ) é divergente;