As afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas? Justifique a sua resposta.
a) Se
converge em
, então converge em
.
a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se a série
que converge quando
também converge quando
. Vamos usar conceitos de séries de potência e raio de convergência pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrando que uma série de potência do jeito
tem um raio de convergência
. Isso quer dizer que a série converge para
e diverge para
. Nos pontos
, a coisa pode variar: pode convergir ou não.
Passo 3
Se a série converge em
, isso indica que
está dentro ou na borda do raio de convergência. Então, pelo menos, temos que
. Mas o que acontece com
?
Passo 4
Para
, estamos olhando para
. Se
, então certamente a série também converge em
porque está dentro do raio. Mas se
, que é o caso mínimo onde sabemos que a série converge em
, não podemos garantir automaticamente que ela converge em
. Pode depender dos coeficientes
.
Passo 5
Por exemplo, considere a série
. Ela converge em
(pela série harmônica pormenor com p = 1 diverge, mas essa específica, por causa do
, a gente precisa analisar melhor). Mas se tentarmos com
, pode acabar divergindo dependendo dos termos alternados.
Passo 6
Então, sem informações adicionais sobre os coeficientes
, não dá pra afirmar que se a série converge em
, ela necessariamente converge em
.
Resposta
Falsa. A convergência em
não garante convergência em
, pois depende dos termos da série.
Exercícios relacionados
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potências: a)
Determine o domínio da função
, sendo: h)
Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas:
a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
a) ( ) 1 pertence ao intervalo de convergência da série;
Seja
uma série de potências, com raio de convergência 2. Diga, justificando, quais das seguintes afirmações são necessariamente verdadeiras e quais são necessariamente falsas: d) ( )
é divergente;