Determine o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o domínio da função
. Isso significa descobrir todos os valores de
que a função pode aceitar sem dar problema. Para isso, vamos precisar entender duas coisas principais: quando a raiz quadrada é válida e quando o denominador não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada:
. A raiz quadrada só é definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
Ou seja:
Vamos lembrar que o cosseno de
é maior ou igual a
nos intervalos onde
está próximo dos múltiplos de
. Especificamente, isso acontece quando:
Passo 3
Agora, vamos cuidar do denominador:
. O denominador não pode ser zero, então precisamos encontrar os valores de
que fazem o denominador igual a zero e excluí-los do domínio.
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Agora, tentamos fatorar o polinômio cúbico:
Testando possíveis raízes, descobrimos que
é uma raiz. Então, podemos fatorar:
Portanto, o denominador totalmente fatorado é:
Então, as raízes que fazem o denominador zero são
e
.
Passo 4
Agora, vamos juntar tudo! O domínio da função é todos os valores de
onde:
-
(para a raiz quadrada ser válida). -
e (para o denominador não ser zero).
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais
tais que
e
e
. Em intervalo: