Determine o domínio da função f(x)=raizcos (x)-1 / 2x^4-x^3-17 x^2-15 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o domínio da função . Isso significa descobrir todos os valores de que a função pode aceitar sem dar problema. Para isso, vamos precisar entender duas coisas principais: quando a raiz quadrada é válida e quando o denominador não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da raiz quadrada: cos(x) - 12 >= 0 . A raiz quadrada só é definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
cos(x) >= 12
Ou seja:
x in [ -pi3 + 2pi k, pi3 + 2pi k ] para todo inteiro k
Vamos lembrar que o cosseno de é maior ou igual a nos intervalos onde está próximo dos múltiplos de . Especificamente, isso acontece quando:

Passo 3

Agora, vamos cuidar do denominador: x^4 - x^3 - 17x^2 - 15x = x(x^3 - x^2 - 17x - 15) . O denominador não pode ser zero, então precisamos encontrar os valores de x^3 - x^2 - 17x - 15 que fazem o denominador igual a zero e excluí-los do domínio.
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
(x - 3)(x^2 + 2x + 5)
Agora, tentamos fatorar o polinômio cúbico:
x(x - 3)(x^2 + 2x + 5)
Testando possíveis raízes, descobrimos que é uma raiz. Então, podemos fatorar:
Portanto, o denominador totalmente fatorado é:
Então, as raízes que fazem o denominador zero são e .

Passo 4

Agora, vamos juntar tudo! O domínio da função é todos os valores de onde:
  1. (para a raiz quadrada ser válida).
  2. e (para o denominador não ser zero).

Resposta

O domínio da função x in [ -pi3 + 2pi k, pi3 + 2pi k ] setminus 0, 3 para todo inteiro k é todos os números reais tais que e e . Em intervalo:

Exercícios relacionados