Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções a seguir definidas por
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) f(x) = { x^2 - 2x - 8, x <= -2 ou x >= 4; -x^2 + 2x + 8, -2 < x < 4 }
h) f(x) = |-3 x + 5/2|
i) f(x) = |2x + 6| - 4
j) f(x) = 3/(x + 9)
k) f(x) = (x + 4) / (x - 4)
l) f(x) = 9^x
m) f(x) = e^(6 x - 5) + 3
n) y = ln(6 x - 7)
o) f(x) = -4 + 3 sen(-x - 7)
p) y = 3 cos(-2 x + 5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o item a) do exercício. A questão pede para determinarmos o domínio, a imagem e esboçarmos o gráfico da função dada por:
Isso envolve conceitos de funções lineares e entender o que significa domínio e imagem de uma função.
Passo 2
Determinar o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para a função , não há restrições como divisão por zero ou extração de raiz quadrada de número negativo. Isso significa que podemos inserir qualquer número real em .
Então, o domínio é:
íú
Passo 3
Determinar a imagem. A imagem, ou intervalo, é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia dentro do domínio.
Como a função é uma reta com coeficiente angular diferente de zero, ela se estende infinitamente em ambas as direções verticalmente. Isso significa que pode ser qualquer número real.
Assim, a imagem é:
ú
Passo 4
Esboçar o gráfico. Vamos desenhar o gráfico da função .
Coeficiente Angular (m): Aqui, . Isso significa que para cada aumento de 1 em , aumenta 3. A inclinação da reta é positiva, então a reta sobe da esquerda para a direita.
Termo Independente (b): . Este é o ponto onde a reta intercepta o eixo , ou seja, o ponto .
Pontos adicionais: Vamos calcular mais alguns pontos para garantir que nosso esboço esteja correto.
Quando :
Quando :
Desenhando a reta: Com esses pontos, podemos traçar uma linha reta que passa por eles.
Resposta
Para a função :
Domínio: Todos os números reais, .
Imagem: Todos os números reais, .
Gráfico: Uma reta inclinada positivamente que corta o eixo no ponto e passa pelos pontos e .