Determine, sem efetuar nenhum cálculo, se o sistema linear com a matriz ampliada dada, tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Justifique suas respostas.
Passo 1
Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo: temos um sistema linear representado por uma matriz ampliada e precisamos descobrir se ele tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI), sem fazer cálculos detalhados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e sistemas lineares, especialmente analisando as relações entre as linhas da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz ampliada fornecida:
As primeiras quatro colunas representam os coeficientes das variáveis do sistema, e a última coluna é a coluna dos termos constantes.
Passo 3
O próximo passo é verificar se alguma linha da matriz pode ser obtida a partir de combinações das outras linhas. Se isso acontecer, significa que algumas equações do sistema são dependentes, ou seja, não trazem novas informações sobre as soluções do sistema.
Passo 4
Observando as linhas 2 e 3 da matriz:
A terceira linha parece ser o dobro da segunda. Vamos conferir:
Realmente, os coeficientes da terceira linha são o dobro dos coeficientes da segunda linha.
Passo 5
Agora, precisamos verificar os termos constantes para ver se essa relação de proporcionalidade também vale para eles. Multiplicando o termo constante da segunda linha por 2:
2 times c = 2c
Comparando com o termo constante da terceira linha, que é 0, temos:
2c = 0
Isso nos diz que deve ser igual a 0 para que a terceira linha seja realmente o dobro da segunda linha, inclusive no termo constante.
Passo 6
Então, temos duas situações:
Se :
A terceira linha é o dobro da segunda linha, tanto nos coeficientes quanto no termo constante.
Isso significa que as duas últimas linhas do sistema são dependentes.
Portanto, o sistema é compatível e dependente, ou seja, possui infinitas soluções (SPI).
Se :
A terceira linha é o dobro da segunda nos coeficientes, mas não nos termos constantes (já que ).
Isso cria uma contradição, pois teríamos algo como , que não é possível se .
Portanto, o sistema é incompatível e não possui solução, ou seja, nenhuma solução (SI).
Resposta
O sistema possui infinitas soluções (SPI) quando e nenhuma solução (SI) quando .