Determine, sem efetuar nenhum cálculo, se o sistema linear com a matriz ampliada dada, tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Justifique suas respostas.
(cccc|c3 & -2 & 0 & 1 & 1 1 & 2 & -3 & 1 & mid c 2 & 4 & -6 & 2 & 0)

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que a questão está pedindo: temos um sistema linear representado por uma matriz ampliada e precisamos descobrir se ele tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI), sem fazer cálculos detalhados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e sistemas lineares, especialmente analisando as relações entre as linhas da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz ampliada fornecida:
3 & -2 & 0 & 1 & 1 1 & 2 & -3 & 1 & c 2 & 4 & -6 & 2 & 0
As primeiras quatro colunas representam os coeficientes das variáveis do sistema, e a última coluna é a coluna dos termos constantes.

Passo 3

O próximo passo é verificar se alguma linha da matriz pode ser obtida a partir de combinações das outras linhas. Se isso acontecer, significa que algumas equações do sistema são dependentes, ou seja, não trazem novas informações sobre as soluções do sistema.

Passo 4

Observando as linhas 2 e 3 da matriz:
  • A terceira linha parece ser o dobro da segunda. Vamos conferir:
    Realmente, os coeficientes da terceira linha são o dobro dos coeficientes da segunda linha.

Passo 5

Agora, precisamos verificar os termos constantes para ver se essa relação de proporcionalidade também vale para eles. Multiplicando o termo constante da segunda linha por 2:
2 times c = 2c
Comparando com o termo constante da terceira linha, que é 0, temos:
2c = 0
Isso nos diz que deve ser igual a 0 para que a terceira linha seja realmente o dobro da segunda linha, inclusive no termo constante.

Passo 6

Então, temos duas situações:
  1. Se :
    • A terceira linha é o dobro da segunda linha, tanto nos coeficientes quanto no termo constante.
    • Isso significa que as duas últimas linhas do sistema são dependentes.
    • Portanto, o sistema é compatível e dependente, ou seja, possui infinitas soluções (SPI).
  2. Se :
    • A terceira linha é o dobro da segunda nos coeficientes, mas não nos termos constantes (já que ).
    • Isso cria uma contradição, pois teríamos algo como , que não é possível se .
    • Portanto, o sistema é incompatível e não possui solução, ou seja, nenhuma solução (SI).

Resposta

O sistema possui infinitas soluções (SPI) quando e nenhuma solução (SI) quando .

Exercícios relacionados

Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
2 x-2 y+z-2 w=1
3 x-2 y+z-6 w=-2
4 x+4 y+2 z-4 w=-3
Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
12 x+y-z-6 w=2
16 x+12 y -3 w+v=-1
13 x -2 z -4 v=8
Determine, sem efetuar nenhum cálculo, se o sistema linear com a matriz ampliada dada, tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Justifique suas respostas.
(rrrr|l1 & 2 & 3 & 4 & 0 5 & 6 & 7 & 8 & 0 9 & 10 & 11 & 12 & 0)
Dado o sistema linear homogêneo C X=0. Sabendo que C é uma matriz quadrada tal que C^2=I, classifique o sistema como SPD, SPI ou SI. Justifique sua resposta.