Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
12 x+y-z-6 w=2
16 x+12 y -3 w+v=-1
13 x -2 z -4 v=8

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de três equações com cinco incógnitas: , , , e . O conteúdo está relacionado a sistemas lineares. Para classificar o sistema e encontrar seu conjunto solução, vamos precisar utilizar métodos de eliminação e substituição para reduzir o sistema e expressar algumas incógnitas em termos das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma mais clara:
12x + y - z - 6w = 2 16x + 12y - 3w + v = -1 13x - 2z - 4v = 8

Passo 3

Vamos multiplicar as equações para eliminar os denominadores e facilitar os cálculos:
  • Multiplicando a primeira equação por 6:
6 ( 12x + y - z - 6w ) = 6 times 2 3x + 6y - 6z - 36w = 12
  • Multiplicando a segunda equação por 6:
6 ( 16x + 12y - 3w + v ) = 6 times (-1) x + 3y - 18w + 6v = -6
  • Multiplicando a terceira equação por 3:
3 ( 13x - 2z - 4v ) = 3 times 8 x - 6z - 12v = 24
Agora, o sistema fica:
3x + 6y - 6z - 36w = 12 x + 3y - 18w + 6v = -6 x - 6z - 12v = 24

Passo 4

Vamos simplificar as equações dividindo-as por fatores comuns:
  • Dividindo a primeira equação por 3:
x + 2y - 2z - 12w = 4
  • A segunda e a terceira equações já estão simplificadas.
O sistema simplificado fica:
x + 2y - 2z - 12w = 4 x + 3y - 18w + 6v = -6 x - 6z - 12v = 24

Passo 5

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (x + 3y - 18w + 6v) - (x + 2y - 2z - 12w) = -6 - 4 x - x + 3y - 2y - 18w + 12w + 6v + 2z = -10 y - 6w + 6v + 2z = -10 :
y - 6w + 6v + 2z = -10
Agora, temos uma nova equação:

Passo 6

Vamos subtrair a primeira equação da terceira para eliminar (x - 6z - 12v) - (x + 2y - 2z - 12w) = 24 - 4 x - x - 6z + 2z - 12v - 2y + 12w = 20 -2y - 4z - 12v + 12w = 20 :
-2y - 4z - 12v + 12w = 20
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos um sistema reduzido com duas equações:
y - 6w + 6v + 2z = -10 -2y - 4z - 12v + 12w = 20
Vamos resolver a primeira equação para y = 6w - 6v - 2z -10 :

Passo 8

Substituímos a expressão de -2(6w - 6v - 2z -10) - 4z - 12v + 12w = 20 -12w + 12v + 4z + 20 - 4z - 12v + 12w = 20 ( -12w + 12w ) + (12v -12v) + (4z -4z) + 20 = 20 20 = 20 na segunda equação:

Passo 9

A equação resultante é sempre verdadeira, o que indica que não há restrições adicionais. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções e que podemos expressar algumas variáveis em termos das outras.

Passo 10

Escolhamos duas variáveis livres, por exemplo, x - 6z - 12v = 24 Rightarrow x = 6z + 12v + 24 e . Vamos expressar as demais variáveis em função dessas:
  • De , já temos em termos de , e .
  • Da terceira equação original simplificada:
Então, as variáveis , e podem ser expressas em termos de e .

Resposta

O sistema é sobredeterminado com infinitas soluções. As soluções podem ser expressas em função das variáveis livres x = 6z + 12v + 24 y = 6w - 6v - 2z -10 z = z w = w v = v e :
Onde , e podem ser quaisquer números reais.

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Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
x+2 y-3 z=0
2 x-y+z=0
4 x-y+z=4
Encontre todos os valores de k para os quais o sistema linear homogêneo a seguir tenha soluções não triviais.
(1-k) x +z & =0 -k y+z & =0 y-k z & =0
Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
2 x-2 y+z-2 w=1
3 x-2 y+z-6 w=-2
4 x+4 y+2 z-4 w=-3
Determine, sem efetuar nenhum cálculo, se o sistema linear com a matriz ampliada dada, tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI). Justifique suas respostas.
(cccc|c3 & -2 & 0 & 1 & 1 1 & 2 & -3 & 1 & mid c 2 & 4 & -6 & 2 & 0)