Classifique o sistema, suas incógnitas e encontre o seu conjunto solução.
2 x-2 y+z-2 w=1
3 x-2 y+z-6 w=-2
4 x+4 y+2 z-4 w=-3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: e . Nosso objetivo é classificar esse sistema, identificar suas incógnitas e encontrar o conjunto solução. Para resolver isso, vamos usar métodos de álgebra linear, especificamente a eliminação de Gauss para simplificar o sistema e descobrir as relações entre as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma clara:
2x - 2y + z - 2w = 1 3x - 2y + z - 6w = -2 4x + 4y + 2z - 4w = -3
Nosso próximo passo é representar esse sistema por meio de uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
2 & -2 & 1 & -2 & | & 1 3 & -2 & 1 & -6 & | & -2 4 & 4 & 2 & -4 & | & -3

Passo 3

Agora, vamos aplicar a eliminação de Gauss para simplificar essa matriz e encontrar relações entre as variáveis. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde possamos facilmente resolver cada variável.
Primeiro, vamos eliminar o 32(2x - 2y + z - 2w) = 3 cdot 1 Rightarrow 3x - 3y + 32z - 3w = 3 das equações 2 e 3 usando a equação 1:
  • Equação 2: (3x - 2y + z - 6w) - (3x - 3y + 32z - 3w) = -2 - 3
    Vamos multiplicar a equação 1 por y - 12z - 3w = -5 e subtrair da equação 2:
    2(2x - 2y + z - 2w) = 4x - 4y + 2z - 4w = 2
    Subtraindo da equação 2:
    (4x + 4y + 2z - 4w) - (4x - 4y + 2z - 4w) = -3 - 2
    Simplificando:
    8y = -5 Rightarrow y = -58
  • Equação 3:
    Vamos multiplicar a equação 1 por 2 e subtrair da equação 3:
    Subtraindo da equação 3:
    Simplificando:

Passo 4

Agora que encontramos o valor de y - 12z - 3w = -5 -58 - 12z - 3w = -5 , vamos substituir esse valor de volta na equação simplificada da Passo 3 para encontrar uma relação entre -12z - 3w = -5 + 58 -12z - 3w = -358 12z + 3w = 358 z = 354 - 6w e 2x - 2y + z - 2w = 1 2x - 2(-58) + (354 - 6w) - 2w = 1 2x + 54 + 354 - 8w = 1 2x + 10 - 8w = 1 2x = -9 + 8w x = -92 + 4w :
Vamos resolver para :
Agora, temos e em função de . Para encontrar , vamos utilizar a equação 1:

Resposta

O conjunto solução do sistema é dado por:
x = -92 + 4w y = -58 z = 354 - 6w w é livre é
Ou seja, as soluções podem ser expressas em função de , que pode assumir qualquer valor real.

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