Determine: A energia e o momento angular para que a órbita seja uma circunferência de raio com centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a energia e o momento angular de uma órbita que é uma circunferência com raio e centro na origem. Isso está ligado à **Mecânica Orbital**, onde estudamos o movimento de objetos sob a influência de forças centriais, como a gravidade. Para resolver, vamos precisar usar as leis de Newton e algumas fórmulas básicas de energia e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que mantém um objeto em uma órbita circular. Tem que haver um equilíbrio entre a força centrípeta necessária para manter o objeto na órbita e a força gravitacional que está puxando ele para o centro. A **força centrípeta** é dada por: onde: - é a massa do objeto, - é a velocidade do objeto, - é o raio da órbita. A **força gravitacional** é: onde: - é a constante gravitacional, - é a massa do corpo central (como o Sol, por exemplo). Para que a órbita seja estável e circular, essas duas forças devem ser iguais:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para encontrar a velocidade . Cancelando a massa e multiplicando ambos os lados por , temos: Então, a velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o **momento angular** (). O momento angular para um movimento circular é dado por: Substituindo a velocidade que encontramos:

Passo 5

Vamos calcular a **energia total** () da órbita. A energia total é a soma da energia cinética () e da energia potencial (): A energia cinética é: A energia potencial gravitacional é: Então, a energia total fica:

Resposta

Para uma órbita circular de raio com centro na origem, a energia total é: E o momento angular é:

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