Determine: A energia e o momento angular para que a órbita seja uma circunferência de raio com centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a energia e o momento angular de uma órbita que é uma circunferência com raio e centro na origem. Isso está ligado à **Mecânica Orbital**, onde estudamos o movimento de objetos sob a influência de forças centriais, como a gravidade. Para resolver, vamos precisar usar as leis de Newton e algumas fórmulas básicas de energia e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que mantém um objeto em uma órbita circular. Tem que haver um equilíbrio entre a força centrípeta necessária para manter o objeto na órbita e a força gravitacional que está puxando ele para o centro.
A **força centrípeta** é dada por:
onde:
- é a massa do objeto,
- é a velocidade do objeto,
- é o raio da órbita.
A **força gravitacional** é:
onde:
- é a constante gravitacional,
- é a massa do corpo central (como o Sol, por exemplo).
Para que a órbita seja estável e circular, essas duas forças devem ser iguais:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para encontrar a velocidade . Cancelando a massa e multiplicando ambos os lados por , temos:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o **momento angular** ( ). O momento angular para um movimento circular é dado por:
Substituindo a velocidade que encontramos:
Passo 5
Vamos calcular a **energia total** ( ) da órbita. A energia total é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial ( ):
A energia cinética é:
A energia potencial gravitacional é:
Então, a energia total fica:
Resposta
Para uma órbita circular de raio com centro na origem, a energia total é:
E o momento angular é:
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