No problema de Kepler, mostre que a energia total das órbitas pode ser escrita em termos da excentricidade , da seguinte forma

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a energia total das órbitas no problema de Kepler pode ser escrita usando a excentricidade da forma:
Aqui, estamos trabalhando com a Mecânica Celeste, especificamente com as leis de Kepler que descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia total da órbita está relacionada com alguns parâmetros como a excentricidade, o momento angular e a constante gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total de uma órbita é a soma da energia cinética e da energia potencial :
No contexto das órbitas, a energia cinética é dada por:
E a energia potencial gravitacional é:
Onde:
  • é a massa do objeto em órbita,
  • é a velocidade orbital,
  • é a constante gravitacional multiplicada pela massa do corpo central,
  • é a distância entre os dois corpos.

Passo 3

Como as órbitas de Kepler são elipses, a excentricidade descreve o quanto a órbita é alongada. Quando , a órbita é circular. Para uma elipse, a relação entre o momento angular , a excentricidade e a energia total pode ser usada para expressar em termos de .
Sabemos que o momento angular para uma órbita elíptica é dado por:

Passo 4

Queremos expressar a energia em termos de . A energia total para uma órbita elíptica pode ser relacionada com o momento angular e a excentricidade através da seguinte fórmula:
Mas para chegar na forma que o exercício pede, vamos reorganizar essa expressão.

Passo 5

Rearranjando a expressão, podemos multiplicar e dividir por :
Assim, obtivemos a relação desejada onde a energia total está expressa em termos da excentricidade , da massa , da constante e do momento angular .

Resposta

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