No problema de Kepler, mostre que a energia total das órbitas pode ser escrita em termos da excentricidade
, da seguinte forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a energia total das órbitas no problema de Kepler pode ser escrita usando a excentricidade
da forma:
Aqui, estamos trabalhando com a Mecânica Celeste, especificamente com as leis de Kepler que descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia total da órbita está relacionada com alguns parâmetros como a excentricidade, o momento angular e a constante gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total
de uma órbita é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
No contexto das órbitas, a energia cinética é dada por:
E a energia potencial gravitacional é:
Onde:
-
é a massa do objeto em órbita, -
é a velocidade orbital, -
é a constante gravitacional multiplicada pela massa do corpo central, -
é a distância entre os dois corpos.
Passo 3
Como as órbitas de Kepler são elipses, a excentricidade
descreve o quanto a órbita é alongada. Quando
, a órbita é circular. Para uma elipse, a relação entre o momento angular
, a excentricidade
e a energia total
pode ser usada para expressar
em termos de
.
Sabemos que o momento angular
para uma órbita elíptica é dado por:
Passo 4
Queremos expressar a energia
em termos de
. A energia total para uma órbita elíptica pode ser relacionada com o momento angular e a excentricidade através da seguinte fórmula:
Mas para chegar na forma que o exercício pede, vamos reorganizar essa expressão.
Passo 5
Rearranjando a expressão, podemos multiplicar e dividir por
:
Assim, obtivemos a relação desejada onde a energia total
está expressa em termos da excentricidade
, da massa
, da constante
e do momento angular
.
Resposta
Exercícios relacionados
Determine: O período das pequenas oscilações radiais ao redor de
.
Determine: A energia e o momento angular para que a órbita seja uma circunferência de raio
com centro na origem.
Usando as expressões dos semieixos maior
e do menor
das órbitas elípticas em termos do ponto de estabilidade
e da excentricidade
, isto é
mostre explicitamente a terceira lei de Kepler, isto é, que o período satisfaz
Uma massa pontual
está localizada a uma distância
da extremidade mais próxima de uma barra fina de massa
e comprimento
ao longo do eixo da barra. Encontre a força gravitacional exercida na massa pontual pela barra.