Determine: O período das pequenas oscilações radiais ao redor de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar o período das pequenas oscilações radiais ao redor de . Isso está dentro do conteúdo de mecânica clássica, especificamente no estudo de movimentos orbitais e oscilações em potenciais centrais. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e potencial efetivo em sistemas com simetria central.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que temos uma partícula se movendo sob a influência de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para o centro e depende apenas da distância até o centro. A energia total desse sistema pode ser dividida em energia cinética radial e energia potencial. Para facilitar, usamos o conceito de potencial efetivo, que incorpora tanto a energia potencial real quanto a energia cinética associada ao movimento angular.
Passo 3
O potencial efetivo é dado por:
Aqui, é o momento angular constante da partícula, é a massa, e o segundo termo representa a energia cinética angular. Esse termo surge porque, mesmo que a partícula esteja em movimento radial, ela também tem um movimento angular que contribui para a energia total.
Passo 4
Para encontrar uma órbita circular estável em , precisamos que o potencial efetivo tenha um ponto de mínimo nesse ponto. Isso significa que a primeira derivada de em deve ser igual a zero:
Essa condição garante que é uma posição de equilíbrio para as oscilações radiais.
Passo 5
Agora, para analisar pequenas oscilações em torno de , podemos expandir o potencial efetivo em série de Taylor ao redor de :
onde é o deslocamento radial pequeno, e é a constante elástica efetiva, dada pela segunda derivada de em :
Essa aproximação transforma o problema em um movimento harmônico simples (MHS).
Passo 6
No movimento harmônico simples, o período das oscilações é dado por:
Substituindo pela segunda derivada do potencial efetivo, temos:
Isso nos dá a relação direta entre a curvatura do potencial efetivo no ponto de equilíbrio e o período das oscilações.
Passo 7
Para finalizar, calculamos a segunda derivada de em . Assumindo que já sabemos , substituímos na expressão de e derivamos duas vezes em relação a . Após simplificar, substituímos na fórmula do período .
Resposta
Portanto, o período das pequenas oscilações radiais ao redor de é dado por: