Determine a energia de rede do NaCl usando: a) A expressão de Madelung; b) a expressão de Madelung corrigida; c) a equação de BornLandé; d) compare e calcule o erro % com o obtido pelo Ciclo de BornHaber, U=-786 kJ/mol
Dados: considere a distância interiônica 282 pm ; e=-1,602 times 10^-19 C varepsilono=8,854 times 10^-12 F / m ; 1 pm=10^-12 m

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício pede pra gente determinar a energia de rede do NaCl usando diferentes fórmulas: a expressão de Madelung, uma versão corrigida dela, a equação de Born-Landé, e depois comparar o resultado com o valor do ciclo de Born-Haber, que é U = -786 kJ/mol. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre energia de rede, estruturas cristalinas, e as fórmulas que vão nos ajudar a calcular esses valores. Também vamos usar alguns dados fornecidos, como a distância interiônica, a carga do elétron e a permissividade do vácuo.

Passo 2

Vamos começar com a expressão de Madelung. Essa expressão nos ajuda a calcular a energia potencial eletrostática de um cristal iônico como o NaCl. A fórmula básica é:
U = -M cdot NA cdot e^24 pi varepsilon0 r
Aqui, M é o número de Madelung, NA é o número de Avogadro, e é a carga do elétron, varepsilon0 é a permissividade do vácuo e r é a distância interiônica.
Vamos substituir os valores:
  • M = 1.7476 (valor típico para NaCl)
  • NA = 6.022 times 10^23 , mol^-1
  • e = 1.602 times 10^-19 , C
  • varepsilon0 = 8.854 times 10^-12 , F/m
  • r = 282 , pm = 282 times 10^-12 , m
Então:
U = -1.7476 times 6.022 times 10^23 times (1.602 times 10^-19)^24 pi times 8.854 times 10^-12 times 282 times 10^-12
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 3

Calculando os termos:
  1. Calculamos (1.602 times 10^-19)^2 = 2.5664 times 10^-38 , C^2
  2. Multiplicamos 1.7476 times 6.022 times 10^23 = 1.051 times 10^24
  3. Agora, multiplicamos 1.051 times 10^24 times 2.5664 times 10^-38 = 2.700 times 10^-14
  4. Em seguida, calculamos 4 pi times 8.854 times 10^-12 times 282 times 10^-12 = 3.1416 times 8.854 times 282 times 10^-24 approx 7.877 times 10^-21
  5. Finalmente, dividimos 2.700 times 10^-14 por 7.877 times 10^-21:
U = -2.700 times 10^-147.877 times 10^-21 approx -3.43 times 10^6 , J/mol = -3430 , kJ/mol

Passo 4

Agora, vamos para a expressão de Madelung corrigida. Essa versão leva em conta correções para aproximações feitas na expressão original, geralmente incluindo fatores como polarização ou vibrações na rede cristalina. A fórmula fica um pouco mais complexa:
U = -M cdot NA cdot e^24 pi varepsilon0 r times f
Onde f é um fator de correção. Sem dados específicos para f, vamos supor que seja uma correção de 10%, então f = 1.10.
Aplicando a correção:
Ucorrigida = -3430 , kJ/mol times 1.10 = -3773 , kJ/mol

Passo 5

Seguimos para a equação de Born-Landé. Essa equação relaciona a energia de rede com a constante de Madelung, o número de coordenação, a constante de repulsão e o intervalo interiônico. A fórmula é:
U = -NA M e^24 pi varepsilon0 r (1 - 1n)
Onde n é o expoente de repulsão. Para o NaCl, geralmente assumimos n = 9.
Então:
U = -1.7476 times 6.022 times 10^23 times (1.602 times 10^-19)^24 pi times 8.854 times 10^-12 times 282 times 10^-12 (1 - 19)
Já calculamos a primeira parte como -3430 , kJ/mol, então:
U = -3430 , kJ/mol times (89) approx -3430 times 0.8889 approx -3051 , kJ/mol

Passo 6

Por fim, vamos comparar os valores obtidos com o valor do ciclo de Born-Haber, que é U = -786 kJ/mol. Vamos calcular o erro percentual para cada método.
Para a expressão de Madelung:
Erro % = |-3430 - (-786)-786| times 100 approx 337%
Para a expressão de Madelung corrigida:
Erro % = |-3773 - (-786)-786| times 100 approx 380%
Para a equação de Born-Landé:
Erro % = |-3051 - (-786)-786| times 100 approx 291%

Resposta

A energia de rede do NaCl calculada foi:
  • Usando a expressão de Madelung: -3430 , kJ/mol
  • Usando a expressão de Madelung corrigida: -3773 , kJ/mol
  • Usando a equação de Born-Landé: -3051 , kJ/mol
Comparando com o valor do ciclo de Born-Haber ( -786 , kJ/mol), os erros percentuais são aproximadamente:
  • Expressão de Madelung: 337%
  • Expressão de Madelung corrigida: 380%
  • Equação de Born-Landé: 291%

Exercícios relacionados