Determine se a equação diferencial dada é EXATA. Se for resolva-a, e aplique o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede pra gente verificar se a equação é exata. Se for, a gente resolve e aplica a condição inicial
. Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como identificar se uma equação é desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise. A equação dada é:
Podemos reorganizar os termos para ficar na forma:
Onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Comparamos as derivadas que encontramos:
Como elas são iguais, a equação é exata!
Passo 5
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à
:
Igualando:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Então, a função
completa é:
Passo 7
A equação exata nos diz que
. Vamos igualar
a uma constante
:
Para encontrar a solução geral, resolvemos essa equação para
em termos de
.
Passo 8
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Passo 9
Agora, substituímos
na equação geral:
Vamos resolver esta equação para
em termos de
.
Passo 10
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolver para
.
Passo 11
Seja
, então a equação fica:
Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto:
Essa é a solução implícita da equação diferencial que satisfaz a condição inicial.
Resposta
A equação diferencial é exata, e a solução que satisfaz
é: