Determine se a equação diferencial dada é EXATA. Se for resolva-a, e aplique o problema de valor inicial dado.
(3y^2 - t^2)/y^5 * dy/dt + t/(2y^4) = 0, y(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede pra gente verificar se a equação é exata. Se for, a gente resolve e aplica a condição inicial . Para isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como identificar se uma equação é desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a análise. A equação dada é:
Podemos reorganizar os termos para ficar na forma:
Onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Comparamos as derivadas que encontramos:
Como elas são iguais, a equação é exata!

Passo 5

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece na constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à :
Igualando:
Simplificando:
Integrando em relação a :
Então, a função completa é:

Passo 7

A equação exata nos diz que . Vamos igualar a uma constante :
Para encontrar a solução geral, resolvemos essa equação para em termos de .

Passo 8

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:

Passo 9

Agora, substituímos na equação geral:
Vamos resolver esta equação para em termos de .

Passo 10

Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Essa é uma equação quadrática em . Vamos resolver para .

Passo 11

Seja , então a equação fica:
Aplicamos a fórmula de Bhaskara:
Portanto:
Essa é a solução implícita da equação diferencial que satisfaz a condição inicial.

Resposta

A equação diferencial é exata, e a solução que satisfaz é:

Exercícios relacionados